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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.7 - Ex. 24

Calcular a área da superfície gerada pela rotação do arco de curva dado, em torno do eixo indicado.

y = x 2 ,   - 2 ≤ x ≤ 2 ,   e i x o   d o s   x

Passo 1

Nesses casos a gente usa a seguinte fórmula:

A = 2 π ∫ a b f x 1 + f ' x 2 d x

Vamos começar derivando então...

f ' x = 2 x

Agora a gente joga na fórmula:

A = 2 π ∫ - 2 2 x 2 1 + ( 2 x ) 2 d y

A = 2 π ∫ - 2 2 x 2 1 + 4 x 2   d x

Passo 2

Vamos fazer u = 2 x → x = u 2   e   d x = d u 2 .

Agora a gente substitui:

∫ u 2 4 1 + u 2 ∙ d u 2

1 8 ∫ u 2 1 + u 2   d u

Outra substituição agora: u = t g   θ ; d u = sec 2 ⁡ θ   d θ ; 1 + u 2 = sec ⁡ θ

E aí então fica:

1 8 ∫ t g 2 θ sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ   d θ

= 1 8 ∫ sec 3 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ - 1 d θ

1 8 ∫ sec 5 ⁡ θ - sec 3 ⁡ θ   d θ

Ok, vamos integrar isso agora...

Passo 3

Integrando fica:

= 1 32 sec 2 ⁡ θ t g   θ - 1 32 ( 1 2 s e c θ t g θ + 1 2 l n ⁡ | sec ⁡ θ + t g   θ | ) + C ⁡

Vamos voltar pra variável u ...

= 1 32 1 + u 2 ∙ u - 1 64 1 + u 2 ∙ u - 1 64 ln ⁡ 1 + u 2 + u + C

E agora pra variável x ...

= 1 32 1 + 4 x 2 ∙ 2 x - 1 64 1 + 4 x 2 ∙ 2 x - 1 64 ln ⁡ 1 + 4 x 2 + 2 x + C

Agora a gente aplica os intervalos:

1 32 1 + 4 x 2 ∙ 2 x - 1 64 1 + 4 x 2 ∙ 2 x - 1 64 ln ⁡ 1 + 4 x 2 + 2 x - 2 2

A = π 17 17 2 - 17 4 + 1 32 ln ⁡ 17 - 4 17 + 4

Pronto! Essa é a área😉

Resposta

A = π 17 17 2 - 17 4 + 1 32 ln ⁡ 17 - 4 17 + 4

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