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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.7 - Ex. 29

Calcular a área da superfície do cone gerado pela revolução do segmento de reta y = 4 x ,   0 ≤ x ≤ 2 .

  1. Em torno do eixo dos x .
  2. Em torno do eixo dos y .

Passo 1

Nos dois casos a gente usa a seguinte fórmula:

A = 2 π ∫ a b f x 1 + f ' x 2 d x

A diferença vai ser onde está a variável. No eixo dos x é normal, assim:

y ' = 4

A = 2 π ∫ 0 2 4 x 1 + 4 2   d x

A = 2 π ∫ 0 2 4 x 17 d x  

A = 2 π 17 4 x 2 2 0 2

A = 2 π 17 8

A = 16 17 π   u . a  

Prontinho! A primeira área é essa😉

Passo 2

  1. Pra segunda a gente vai ter que colocar a função em y e ,mudar os intervalos:

y = 4 x → x = y 4

A derivada então fica:

x ' = 1 4

E os intervalos: 0 ≤ y ≤ 8 , já que y = 4 x .

Jogando na fórmula então, temos:

A = 2 π ∫ 0 8 y 4 1 + 1 4 2 d y

A =   2 π ∙ 1 4 ∫ 0 8 y   1 + 1 16 d y

A = π 2 ∫ 0 8 y 17 16 d y

A = π 2 ∙ 17 4 ∫ 0 8 y   d y

A = 17 π 8 y 2 2 0 8

A = 17 π 8 ∙ 64 2  

A = 4 17 π   u . a

E essa é a segunda área pedida😉

Resposta

  1. A = 16 17 π   u . a  
  2. A = 4 17 π   u . a
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Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.A área de superfície lateral S de um cone circular reto de altura h e raio de base r é S = π r r 2 + h 2 .
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Use um CAS para encontrar a área exata da superfície gerada quando a curva dada gira em torno do eixo dado. E i x ox em 1 ≤ x ≤ 2 . f x = x 3 3 - x - 1 4
Use um CAS para encontrar a área exata da superfície gerada quando a curva dada gira em torno do eixo dado. E i x oy em 1 ≤ y ≤ 2 . 8 x y 2 = 2 y 6 + 1
Encontre a área da superfície gerada quando a curva dada gira em torno do e i x oy . x = y 3 , 0 ≤ y ≤ 1