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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 10

Calcule a integral de superfície.

∬ x z d S

S é parte do plano 2 x + 2 y + z = 4 que está no primeiro octante.

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo certo?

A questão quer o valor da integral:

∬ x z d S

Onde S é a parte do plano 2 x + 2 y + z = 4 que está no primeiro octante .

Bom, para isso podemos usar a equação:

∫ ∫ S   x z   d S = ∫ ∫ D   x z 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A

Então, vamos precisar achar as derivadas parciais da nossa função z , que é a equação do plano dada no enunciado. Daí, é só escrevermos nossa região D como uma integral dupla e resolver nossa integral.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é:

2 x + 2 y + z = 4

Isolando z :

z = 4 - 2 x - 2 y

Para isso podemos calcular as derivadas em relação a   x e y .

  • Derivando em x , tratando y como constante:

    • ∂ z ∂ x = ∂ ( 4 - 2 x - 2 y   ) ∂ x = - 2

  • Derivando em y , tratando x como constante:

    • ∂ z ∂ y = ∂ ( 4 - 2 x - 2 y   ) ∂ y = - 2

    Substituindo na nossa equação:

    ∫ ∫ S   x z   d S = ∫ ∫ D   x z 1 + - 2 2 + - 2 2   d A

    Ficamos com:

    ∬ x z   ( 3 )   d A

    Passo 3

    Veja que ainda faltam nossos limites de integração. O enunciado não nos deu diretamente, mas trouxe que a região de integração está no primeiro octante, onde x ≥ 0 e y ≥ 0 .

  • x : para achar os limites de x , fazemos y = z = 0 na equação do plano para acharmos a interseção do plano no eixo x :

    • 2 x + 2 ⋅ 0 + 0 = 4

    Então:

    x = 2

    Como x ≥ 0 , ficamos com:

    0 ≤ x ≤ 2

  • y : para achar os limites em y , fazemos z = 0 para acharmos a interseção do plano z no plano x y :

2 x + 2 y + 0 = 4

Isolando y :

y = 2 - x

Como y ≥ 0 , temos:

0 ≤ y ≤ 2 - x

Também substituímos:

z = 4 - 2 x - 2 y

No nosso integrando. Nossa integral é:

∬ x z   ( 3 )   d A = 3 ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x x 4 - 2 x - 2 y   d y d x

Passo 3

Agora podemos calcular nossa integral dupla!

3 ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x x 4 - 2 x - 2 y   d y d x

Multiplicando o termo fora dos parênteses:

3 ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x 4 x - 2 x 2 - 2 x y d y d x

Integrando primeiro em y que é a integral de dentro, tratando x como constante:

= 3 ∫ 0 2 4 x y - 2 x 2 y - x y 2 0 2 - x d x

Aplicando os limites de integração em y :

= 3 ∫ 0 2 x 3 - 4 x 2 + 4 x d x

Agora integramos em x :

= 3 1 4 x 4 4 - 4 3 x 3 + 2 x 2 0 2

Aplicando finalmente nossos limites de integração:

= 3 4 - 32 3 + 8 = 4

Então:

∬ x z d S = 4

Resposta

∬ x z d S = 4

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