Determine a área de superfície.

A parte do cilindro x^2 + z^2 = a^2 que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = a^2 .

Passo 1

Seja S 1 a porção da superfície que fica acima do plano z = 0 . Então

A S = 2 A ( S 1 )

Pela simetria.

Passo 2

Em S 1 :

z = a 2 - x 2

Então

r x × r y = 1 + x 2 a 2 - x 2 = a a 2 - x 2

Passo 3

Consequentemente,

A S 1 = ∬ 0 ≤ x 2 + y 2 ≤ a 2 a a 2 - x 2 d A = ∫ - a a ∫ - a 2 - x 2 a 2 - x 2 a a 2 - x 2 d y d x = ∫ - a a 2 a d x = 4 a 2

Então

A S = 8 a 2

Resposta

A S = 8 a 2

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