10 . Calcule a área de z = raiz(x^2 + y^2), x^2 + y^2 <= 2x, x >= 1 e y >= 0

Passo 1

Pode até parecer confuso quando temos 2 equações, fica aquela dúvida de “qual superfície usar?”. Bem vamos traduzir o que esse exercício diz, temos então uma casca cônica limitada por uma região.

E essa região limitada da casca cônica que vamos calcular

. Lembrando que nossa estrutura de cálculo é

∫ ∫ S d S =     ∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

Passo 2

Então vamos usar nossa equação do cone e projetar ela no plano XY

x 2   +   y 2 =   z 2  

Logo como vamos projetar em XY, vamos isolar z

z = x 2 + y 2      

Só nos resta agora calcular as derivadas parciais de z

z x = x x 2 + y 2

z y = y x 2 + y 2

Passo 3

Vamos Unir o que já calculamos a nossa integral

∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

∫ ∫ R ' 1 + y x 2 + y 2 2 + x x 2 + y 2 2 d y d x

∫ ∫ R ' 1 + x 2 + y 2 x 2 + y 2 d y d x

∫ ∫ R ' 2 d y d x

= 2 ∫ ∫ R ' d y d x

Beleza agora só precisamos encontrar o intervalo de integração e isso é dado pela nossa região que limita o cone

x 2 + y 2 ≤ 2 x  

  x ≥ 1  

  y ≥ 0

Isso quer dizer que queremos calcular área da interseção dessas 3 regioes

Ou seja queremos o primeiro quadrante de um circulo unitário. E como nossa integração apenas quer uma área ( como podemos perceber pela equação )

2 ∫ ∫ R ' d y d x

Então podemos encurtar os cálculos e calcular a área com as formulas de Em. médio

A c i r c u l o = 1 4 π * 1 ²

A = π 4

Logo a área da nossa superfície é

2 ∫ ∫ R ' d y d x → 2 * π 4

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x = 2 * π 4

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