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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.3 - Ex. 10

10 . Calcule a área de z = sqrt(x^2 + y^2) , x^2 + y^2 <= 2 x , x >= 1 e y >= 0

Passo 1

Pode até parecer confuso quando temos 2 equações, fica aquela dúvida de “qual superfície usar?”. Bem vamos traduzir o que esse exercício diz, temos então uma casca cônica limitada por uma região.

E essa região limitada da casca cônica que vamos calcular

. Lembrando que nossa estrutura de cálculo é

int int_S^() d S = int int_(R ')^() sqrt(1 + ((del z)/(del y))^2 + ((del z)/(del x))^2) d y d x

Passo 2

Então vamos usar nossa equação do cone e projetar ela no plano XY

x^2 + y^2 = z^2

Logo como vamos projetar em XY, vamos isolar z

z = sqrt(x^2 + y^2 )

Só nos resta agora calcular as derivadas parciais de z

z_x = (x)/(sqrt(x^2 + y^2))

z_y = (y)/(sqrt(x^2 + y^2))

Passo 3

Vamos Unir o que já calculamos a nossa integral

int int_(R ')^() sqrt(1 + ((del z)/(del y))^2 + ((del z)/(del x))^2) d y d x

int int_(R ')^() sqrt(1 + ((y)/(sqrt(x^2 + y^2)))^2 + ((x)/(sqrt(x^2 + y^2)))^2) d y d x

int int_(R ')^() sqrt(1 + (x^2 + y^2)/(x^2 + y^2)) d y d x

int int_(R ')^() sqrt(2) d y d x

= sqrt(2) int int_(R ')^() d y d x

Beleza agora só precisamos encontrar o intervalo de integração e isso é dado pela nossa região que limita o cone

x^2 + y^2 <= 2 x

x >= 1

y >= 0

Isso quer dizer que queremos calcular área da interseção dessas 3 regioes

Ou seja queremos o primeiro quadrante de um circulo unitário. E como nossa integração apenas quer uma área ( como podemos perceber pela equação )

sqrt(2) int int_(R ')^() d y d x

Então podemos encurtar os cálculos e calcular a área com as formulas de Em. médio

A_c i r c u l o = (1)/(4) (pi * 1 ²)

A = (pi)/(4)

Logo a área da nossa superfície é

sqrt(2) int int_(R ')^() d y d x -> sqrt(2) * (pi)/(4)

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

int int_(R ')^() sqrt(1 + ((del z)/(del y))^2 + ((del z)/(del x))^2) d y d x = sqrt(2) * (pi)/(4)

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