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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.3 - Ex. 8

8 . Calcule a área da parte do cone z 2   =   x 2   +   y 2 que se encontra dentro docilindro x 2   +   y 2   ≤   2 x , fora do cilindro x 2   +   y 2   ≤   1 e acima do plano x y .

Passo 1

Pode até parecer confuso quando temos 2 equações, fica aquela dúvida de “qual superfície usar?”. Bem vamos traduzir o que esse exercício diz, temos então uma casca cônica limitada por uma região.

E essa região limitada da casca cônica que vamos calcular

. Lembrando que nossa estrutura de cálculo é

∫ ∫ S d S =     ∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

Passo 2

Então vamos usar nossa equação do cone e projetar ela no plano XY

x 2   +   y 2 =   z 2  

Logo como vamos projetar em XY, vamos isolar z

z = x 2 + y 2      

Só nos resta agora calcular as derivadas parciais de z

z x = x x 2 + y 2

z y = y x 2 + y 2

Passo 3

Vamos Unir o que já calculamos a nossa integral

∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

∫ ∫ R ' 1 + y x 2 + y 2 2 + x x 2 + y 2 2 d y d x

∫ ∫ R ' 1 + x 2 + y 2 x 2 + y 2 d y d x

∫ ∫ R ' 2 d y d x

= 2 ∫ ∫ R ' d y d x

Beleza agora só precisamos encontrar o intervalo de integração e isso é dado pela nossa região que limita o cone

x 2   +   y 2   ≤   2 x

x 2   +   y 2   ≤   1

Isso quer dizer que estamos trabalhando com essa região

Mega estranha né mas é o que nossa enunciado nos forneceu, assim nossos intervalos de integração são

1 < r < 2 cos ⁡ θ

- π 3 < θ < π 3  

Agora é arregaçar as mangas e calcular

2 ∫ - π 3 π 3 ∫ 1 2   cos ⁡ θ   r d r d θ

= 2 ∫ - π 3 π 3 r 2 2 r = 1 2 cos ⁡ θ d θ

= 2 2 ∫ - π 3 π 3 4 cos ² ⁡ θ - 1 d θ

2 2 ( θ + s i n   2 θ   θ = - π 3 π 3

= 3 3 + 2 π 3 2

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x     = 3 3 + 2 π 3 2

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