Calcular a área total da superfície cuja lateral é parte do cilindro x 2 + y 2 = 4 ; cuja parte superior é uma porção do hemisfério z = 16 - x 2 - y 2 e cuja parte inferior é a porção do plano z = 0 .

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.11 - Ex. 18

Calcular a área total da superfície cuja lateral é parte do cilindro ; cuja parte superior é uma porção do hemisfério e cuja parte inferior é a porção do plano .

Passo 1

De maneira simples, temos que lembrar que o cálculo da área de uma superfície é dada por

Assim precisamos apenas conhecer nossa funções e nossos limites de integração.

Passo 2

De todos os exercícios dessa seção, finalmente temos um desafiador, pelo menos é o que parece. Teremos que ver para ter certeza. Mentira, é fácil.

Vamos primeiro calcular o topo.

Seja

Tomando nossas derivadas direcionais, temos

Conhecendo nossas derivadas, podemos determinar que o fator de integração se resume em

Passo 3

Vamos agora verificar nossos limites de integração. O que limita a superfície superior da esfera é a área do cilindro, assim tomando uma parametrização cilíndrica,

Temos que para nossos limites serão

Que é o raio do cilindro e o fato de varrermos o ângulo 360° para cobrirmos toda área.

A imagem acima mostra nossa esfera e nosso cilindro construídos no Geogebra 3D.

Passo 4

Vamos integrar?

Nossa integral agora possui a seguinte cara

Que de maneira bem simples vamos fazer

E assim temos e . Desta forma temos

Passo 5

Entretanto ainda não terminamos. Agora vamos calcular a parte lateral. Obviamente temos um cilindro, e a área do cilindro é dado por , na qual é a altura em que a esfera intercepta o cilindro. Assim temos que relacionando as duas equações, temos

Desta forma ficamos com

Passo 6

E agora em nosso último passo, calculamos a área da tampa inferior que é apenas um disco. Então temos como área

Então temos

Assim temos que a área total será

Resposta

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Calcule a massa da superfície σ dada, com função densidade superficial de massa f ( x , y , z ) dada: b )f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 e σ é a superfície z 2 = x 2 + y 2 ,1 ≤ z ≤ 2 .

Seja f : a , b → R uma função de classe C 1 , com f u ≥ 0 em a , b . Considere a superfície de revolução σ u , v = f u cos ⁡ v , f u s e nv ,u , com a ≤ u ≤ b ,0 ≤ v ≤ 2 π . Estabeleça uma fórmula par

Seja σ u , v = x u , v , y u , v , z u , v , u , v ∈ K . Mostre que a área de σ pode ser expressa na forma á r e ad eσ = ∬ K ∂ y , z ∂ u , v 2 + ∂ z , x ∂ u , v 2 + ∂ x , y ∂ u , v 2 d u d vá Sugestão

Estabeleça uma fórmula para o cálculo da área da superfície x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 , onde a0 ,bb ,c0 são constantes dadas

Seja F : Ω ⊂ R 3 → R , Ω aberto, uma função de classe C 1 tal que ∂ F ∂ z ≠ 0 em Ω . Seja f : K → R , onde K é um compacto com fronteira de conteúdo nulo e interior não-vazio contido em Ω , tal que F