Calcular a área total da superfície cuja lateral é parte do cilindro ; cuja parte superior é uma porção do hemisfério e cuja parte inferior é a porção do plano .

De todos os exercícios dessa seção, finalmente temos um desafiador, pelo menos é o que parece. Teremos que ver para ter certeza. Mentira, é fácil.

Vamos primeiro calcular o topo.

Seja

Tomando nossas derivadas direcionais, temos

e

Conhecendo nossas derivadas, podemos determinar que o fator de integração se resume em

Vamos agora verificar nossos limites de integração. O que limita a superfície superior da esfera é a área do cilindro, assim tomando uma parametrização cilíndrica,

Temos que para nossos limites serão

Que é o raio do cilindro e o fato de varrermos o ângulo 360° para cobrirmos toda área.

A imagem acima mostra nossa esfera e nosso cilindro construídos no Geogebra 3D.

Vamos integrar?

Nossa integral agora possui a seguinte cara

Que de maneira bem simples vamos fazer

E assim temos e . Desta forma temos

Entretanto ainda não terminamos. Agora vamos calcular a parte lateral. Obviamente temos um cilindro, e a área do cilindro é dado por , na qual é a altura em que a esfera intercepta o cilindro. Assim temos que relacionando as duas equações, temos

Desta forma ficamos com

E agora em nosso último passo, calculamos a área da tampa inferior que é apenas um disco. Então temos como área

Então temos

Assim temos que a área total será