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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.3 - Ex. 21

Seja σ u , v = x u , v , y u , v , z u , v , u , v ∈ K . Mostre que a área de σ pode ser expressa na forma

á r e a   d e   σ = ∬ K ∂ y , z ∂ u , v 2 + ∂ z , x ∂ u , v 2 + ∂ x , y ∂ u , v 2 d u d v

Sugestão: Veja Exercício 3 da Seção 9.2

Passo 1

Do problema 9.2 . 3 temos que, dado que σ u , v = x u , v , y u , v , z u , v

∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v = ∂ y , z ∂ u , v i → + ∂ z , x ∂ u , v j → + ∂ x , y ∂ u , v k →

E agora tomamos a definição para calcular a área de superfície dada por

á r e a   d e   σ = ∬ K ∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v d u d v

Passo 2

Pode se ver que já possuímos tudo que precisamos para concluir nosso problema.

Tome a norma do nosso produto vetorial

∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v = ∂ y , z ∂ u , v 2 + ∂ z , x ∂ u , v 2 + ∂ x , y ∂ u , v 2

Assim temos que

á r e a   d e   σ = ∬ K ∂ y , z ∂ u , v 2 + ∂ z , x ∂ u , v 2 + ∂ x , y ∂ u , v 2 d u d v

que era o que queríamos provar. Eu sei, você não ta acreditando o quão fácil era, né? Rlx, eu também não.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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