Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.3 - Ex. 18
Seja , aberto, uma função de classe tal que em . Seja , onde é um compacto com fronteira de conteúdo nulo e interior não-vazio contido em , tal que para todo , isto é, é definida implicitamente pela equação . Mostre que a área da superfície é dada pela fórmula
Passo 1
A área de qualquer superfície pode ser calculada sabendo a definição por tras dela. Assim tome que
Onde o processo para se chegar na fórmula do nosso problema é parametrizar nossa superfície, calcular suas derivadas direcionais e por fim, tirar a norma. Sempre será isso. Sempre...
Mão a obra
Passo 2
Primeiro olhamos para a nossa “parametrização”. Não sei porque colocamos aspas, visto que querendo ou não, é uma parametrização. Assim segue que
Assim, calculando as derivadas direcionais, temos
e
E tirando agora o produto vetorial entre elas
E agora tirando a norma, ficamos com
Passo 3
Bom, até aqui só seguimos a nossa receitinha de bolo. Agora vamos olhar o que o enunciano nos dá. Ele diz que é obtida implicitamente pela , ou seja, podemos escrever que
E assim consequentemente podemos escrever que
Logo nossa raiz se transforma em
Assim temos que
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)