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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.3 - Ex. 16

Seja f : a , b → R uma função de classe C 1 , com f u ≥ 0 em a , b . Considere a superfície de revolução σ u , v = f u cos ⁡ v , f u s e n   v ,   u , com a ≤ u ≤ b ,   0 ≤ v ≤ 2 π . Estabeleça uma fórmula para o cálculo da área de σ . Compare com a fórmula obtida na Seção 13.4 do Vol. 1, 5.ª edição.

Passo 1

A fórmula que é retirava da Seção 13.4 do Vol 1, 5.ª Ed é

A = 2 π ∫ a b x 1 + d y d x 2 d x

Passo 2

Vamos começar nosso problema tomando a definição dada pelo capítulo para calcularmos a área. Assim temos que

á r e a = ∬ K ∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ u d u d v  

então vamos calcular nossas derivadas direcionais

∂ σ ∂ u = ( f ' u cos ⁡ v ,   f ' u   s e n   v , 1 )

e

∂ σ ∂ v = ( - f u   s e n   v ,   f u cos ⁡ v , 0 )

Bom, agora vamos seguir e calcular o produto vetorial entre elas. Desta forma temos

∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ u = i → j → k → f ' u cos ⁡ v f ' u   s e n   v 1 - f u   s e n   v f u cos ⁡ v 0

= - f u cos ⁡ v   i → - f u   s e n   v   j → + f u f ' u cos 2 ⁡ v + f u f ' u   s e n 2 v k →

Lembrando que cos 2 ⁡ v + s e n 2 v = 1 e tirando a norma desse nosso vetor, temos

- f u cos ⁡ v 2 + - f u s e n   v 2 + f u f ' u 2 1 2

e consequentemente

f u 1 + f ' u 2 1 2

Assim temos como integral

A = ∫ 0 2 π ∫ a b f u 1 + d f u d u 2   d u   d v

Como nosso fator não depende de v , podemos resolver a integral de maneira simples. Sendo assim chegamos em

A = 2 π ∫ a b f u 1 + d f u d u 2 d u

E desta forma temos o calculo da área

Resposta

A = 2 π ∫ a b f u 1 + d f u d u 2 d u

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