Seja uma função de classe , com em . Considere a superfície de revolução , com . Estabeleça uma fórmula para o cálculo da área de . Compare com a fórmula obtida na Seção 13.4 do Vol. 1, 5.ª edição.
Passo 1
A fórmula que é retirava da Seção 13.4 do Vol 1, 5.ª Ed é
Passo 2
Vamos começar nosso problema tomando a definição dada pelo capítulo para calcularmos a área. Assim temos que
então vamos calcular nossas derivadas direcionais
e
Bom, agora vamos seguir e calcular o produto vetorial entre elas. Desta forma temos
Lembrando que e tirando a norma desse nosso vetor, temos
e consequentemente
Assim temos como integral
Como nosso fator não depende de , podemos resolver a integral de maneira simples. Sendo assim chegamos em
E desta forma temos o calculo da área