Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.3 - Ex. 16
Seja uma função de classe , com em . Considere a superfície de revolução , com . Estabeleça uma fórmula para o cálculo da área de . Compare com a fórmula obtida na Seção 13.4 do Vol. 1, 5.ª edição.
Passo 1
A fórmula que é retirava da Seção 13.4 do Vol 1, 5.ª Ed é
Passo 2
Vamos começar nosso problema tomando a definição dada pelo capítulo para calcularmos a área. Assim temos que
então vamos calcular nossas derivadas direcionais
e
Bom, agora vamos seguir e calcular o produto vetorial entre elas. Desta forma temos
Lembrando que e tirando a norma desse nosso vetor, temos
e consequentemente
Assim temos como integral
Como nosso fator não depende de , podemos resolver a integral de maneira simples. Sendo assim chegamos em
E desta forma temos o calculo da área
Resposta
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Calcule a integral de superfície. ∫ ∫ S x yd S , S é a fronteira da região delimitada pelo cilindro x 2 + z 2 = 1 e pelos planos y = 0 e x + y = 2 .
Calcule a integral de superfície. ∫ ∫ S ( x 2 y + z 2 ) d S , S é a parte do cilindro x 2 + y 2 = 9 entre os planos z = 0 e z = 2 .
Calcule a integral de superfície. ∫ ∫ S x y zd S , S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 que está acima do cone z = x 2 + y 2 .
Determine a área de superfície.A parte do plano x + 2 y + z = 4 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 4 .
Encontre a área da superfície com precisão de quatrocasas decimais, expressando-as em termos de uma integral de função de uma variável real e usando sua calculadora para estimar a integral.A parte da