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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.7 - Ex. 12

Para calcular as coordenadas espaciais de um planeta, temos de resolver equações do tipo x   =   1   +   0,5 ⋅   s e n   x . O traçado da função f x =   x   -   1 -   0,5 ⋅   s e n   x sugere que a função possui uma raiz próxima de x   =   1,5 . Use uma aplicação do método de Newton para melhorar essa estimativa. Ou seja, comece com x 0   =   1,5 e determine x 1 .

(O valor da raiz é 1,49870 com cinco casas decimais.) Lembre-se de usar radianos.

Passo 1

Aplicando o método de Newton que nos diz que

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

Queremos uma aproximação melhor que x 0 e para isso calcularemos x 1 com uma iteração desse método.

Passo 2

Primeiramente vamos derivar a nossa função f ( x )

f x =   x   -   1 -   0,5 ⋅   s e n   x → f ' x = 1 - 0.5 ⋅ c o s ( x )

Assim, nossa fórmula pra esse problema vai ser dada por

x n + 1 = x n - x n - 1 - 0.5 ⋅ s e n ( x n ) 1 - 0.5 ⋅ c o s ( x n )

Passo 3

Tomando nosso ponto inicial x 0 = 1.5 podemos calcular nosso x 1

x 0 + 1 = x 0 - x 0 - 1 - 0.5 ⋅ s e n ( x 0 ) 1 - 0.5 ⋅ c o s ( x 0 )

x 1 = 1.5 - 1.5 - 1 - 0.5 ⋅ s e n ( 1.5 ) 1 - 0.5 ⋅ c o s ( 1.5 )

x 1 = 1.5 - 0.5 - 0.5 ⋅ s e n ( 1.5 ) 1 - 0.5 ⋅ c o s ( 1.5 )

x 1 = 1.5 - 1 2 - 1 2 ⋅ s e n ( 1.5 ) 1 - 1 2 ⋅ c o s ( 1.5 )

x 1 = 1.5 - 1 2 - 1 2 ⋅ s e n ( 1.5 ) 1 - 1 2 ⋅ c o s ( 1.5 )

x 1 ≈ 1 . 498701

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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