Para que valor(es) de x obteremos cos(x) = 2x ?

Passo 1

Para obtermos cos ⁡ x = 2 x separaremos em duas funções e vamos plotar o gráfico para ver o ponto de intersecção entre eles. Dessa forma, tomemos y 1 = 2 x   e   y 2 = cos ⁡ x , plotando o gráfico vamos obter

Podemos reparar que existe um valor que se encontra entre 0 e 1 e é exatamente eles quem queremos estimar utilizando o método de Newton que nos diz que

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

Passo 2

Primeiramente vamos derivar a função, para poder substituir na fórmula do método de Newton. Assim,

f x = cos ⁡ x - 2 x → f ' x = - s e n x - 2

Tomando, também, um valor intermediário no intervalo como valor inicial poderemos estimar nossa raiz, assim pegando x 0 = 0.5 podemos substituir na fórmula obtendo

x n + 1 = x n - cos ⁡ x n - 2 x n - s e n x n - 2

Na nossa primeira iteração, vamos obter

x 0 + 1 = x 0 + cos ⁡ x 0 - 2 x 0 s e n x 0 + 2

x 1 = 0.5 + cos ⁡ 0.5 - 2 ⋅ ( 0.5 ) s e n 0.5 + 2

x 1 ≈ 0.45063

Para nossa próxima iteração utilizaremos o valor de x 1 como valor inicial e faremos

x 1 + 1 = x 1 + cos ⁡ x 1 - 2 x 1 s e n x 1 + 2

x 2 = 0.45063 + cos ⁡ 0.45063 - 2 ⋅ ( 0.45063 ) s e n 0.45063 + 2

x 2 ≈ 0.45018

Portanto, podemos pegar 0.45 como uma boa aproximação para termos cos ⁡ x = 2 x .

Resposta

Para x ≈ 0.45 temos cos ⁡ x = 2 x

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