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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.10 - Ex. 34

Calcular a massa e o centro de massa da chapa da figura 7.57, considerando a densidade igual a x

Passo 1

Para resolvermos questões relacionadas a centro de massa e momento de inercia precisamos da seguinte teoria :

Consideramos um sistema cuja massa total esta distribuída numa região do plano e não apenas num conjunto formado por um número finito de pontos, os conceitos de massa, centro de massa e momento são definidos por meio de integrais duplas. Por exemplo, consideremos uma lâmina fina tendo a forma de uma região D do plano e assumamos que a massa está distruibuida sobre essa lâmina com densidade (massa por unidade de área ) conhecida, isto é, existe uma função positiva f definida em D tal que f ( x , y ) representa a massa por unidade de área em x , y .

Podemos calcular a massa total de D por

m   =   ∬ D f x , y d x d y

E o centro de massa é dado por ( x ' , y ' )

x ' = ∬ D x f x , y d x d y m

y ' = ∬ D y f x , y d x d y m

Passo 2

Portanto, nossas varáveis estão definidas nos seguintes intervalos:

0 ≤ x ≤ 1

3 x ≤ y ≤ 4 - x 2

A densidade nos foi dita que é igual a x, logo:

f x , y = x

Cálculo da massa:

m = ∫ 0 1 ∫ 3 x 4 - x 2 x d y d x = 3 4

Cálculo do centro de massa:

x ' = ∫ 0 1 ∫ 3 x 4 - x 2 x 2 d y d x m = 23 60 3 4 = 23 45  

y ' = ∫ 0 1 ∫ 3 x 4 - x 2 y x d y d x m = 47 24 3 4 = 47 18

Resposta

m = 3 4

23 45 , 47 18

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