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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.2 - Ex. 9

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C x y z   d s

C : x = 2   s e n   t ,   y = t ,   z =   - 2 c o s c o s   t   com 0 ≤ t ≤ π

Passo 1

Oiiiie, esse exercício pede para que a gente calcule a integral de linha:

→ ∫ C x y z   d s

Primeira coisa que devemos nos atentar é que d s significa um comprimento de arco, ou seja

d s = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2     d t

Sendo assim, precisamos encontrar d s a partir da fórmula acima. Mas antes disso, iremos fazer um passo muito importante que será a parametrização da curva , vamos basicamente substituir os novos valores de x , y     e   z na função     F ( x , y , z ) = x y z .

Depois de fazermos essas duas etapas conseguiremos fazer o cálculo da integral, vamos lá??

Passo 2

O enunciado da questão nos dá as seguinte informações:

x = 2   s e n   t  

y = t

z =   - 2 c o s   t

Sabemos que a nossa função é :

F ( x , y , z ) = x y z

Então vamos substituir os valores :

F ( t ) = 2   s e n ( t ) .   t .   - 2 c o s ( t )

Beleza. Então vamos reescrever a nossa integral:

∫ C 2   s e n ( t ) .   t .   ( - 2 c o s ( t ) )   d s

O enunciado nos diz que o intervalo de t é:

0 ≤ t ≤ π

Logo, esses são nossos limites de integração, vamos substituir na integral:

∫ 0 π 2   s e n ( t ) .   t .   ( - 2 c o s ( t ) )   d s

Passo 3

Bom, agora a única coisa que falta para podermos começar a calcular é achar o d s . Vamos dar uma olhada na fórmula mais uma vez:

d s = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2     d t

Show, então precisamos achar as derivadas parciais d x d t , d y d t e d z d t .

Vamos fazer separadamente :

- d x d t x = 2   s e n   t  

d d t ( 2   s e n   t ) = 2   c o s   t  

- d y d t y = t

d d t ( t ) = 1  

- d z d t z =   - 2 c o s   t

d d t ( - 2   c o s   t ) = 2   s e n   t  

Desta forma podemos reescrever nosso d s

d s = 2 c o s   t   2 + 1 + + 2   s e n   t 2   d t

d s = 4 c o s 2   t + 1 + 4   s e n 2   t   d t

Colocando o 4 em evid��ncia:

= 1 + 4 c o s 2 t + s e n 2 t     d t

lembrando que c o s 2 t + s e n 2 t = 1

d s = 5   d t

Passo 4

Já temos todas as informações que precisamos, nossa integral ficou assim:

∫ 0 π 2   s e n ( t ) .   t .   ( - 2 c o s ( t ) ) . 5   d t  

Vamos separar as constantes das variáveis para ficar melhor a visualização :

∫ 0 π - 4 5   s e n ( t ) .   t .   c o s ( t ) d t  

- 4 5   ∫ 0 π s e n ( t ) .   t .   c o s ( t )   d t  

Um bizu para resolver essa questão é dizer que s e n ( t ) . c o s ( t ) = s e n   ( 2 t ) 2 .

Essa dica vem de dois conceitos da trigonometria chamado arco duplo e relação fundamental da trigonometria .

Vamos substituir na integral:

- 4 5   ∫ 0 π t .   s e n   ( 2 t ) 2   d t  

Beleza, vamos resolvermos essa integral por partes:

∫ 0 π f ( x ) . g ' ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) - ∫ g ( x ) . f ´ ( x )   d x

A nossa integral é :

- 4 5   ∫ 0 π t .   s e n   ( 2 t ) 2   d t  

Simplificando temos que :

- 4 5   . 1 2 ∫ 0 π t . s e n ( 2 t )   d t  

  - 2 5 ∫ 0 π t . s e n ( 2 t )   d t  

Seja:

f ( x ) = t   → f ' ( x ) = 1

g ' ( x ) = s e n   2   t     → g ( x ) = - c o s   2 t   2

Reescrevemos a integral sendo:

∫ 0 π t .   s e n   ( 2 t ) 2   d t   = - t . c o s   2 t   2   + ∫ ( - c o s   2 t   2 ) . 1   d t

↓

  ∫ 0 π t .   s e n   ( 2 t ) 2   d t   = - t . c o s   2 t   2   -   s e n   2 t 4

Vamos então substituir esse valor na nossa integral :

  - 2 5 ∫ 0 π t . s e n ( 2 t )   d t  

↓

- 2 5 - t c o s   2 t   2 + s e n   2 t 4 0 π  

- 2 5 - π   c o s   ( 2 π )   2 + s e n   ( 2 π ) 4 - - 0   c o s   ( 2.0 )   2 + s e n   ( 2.0 ) 4  

- 2 5 - π     2 + 0 - - 0 + 0  

- 2 5 - π     2  

  - 2 5 ∫ 0 π t . s e n ( 2 t )   d t   = 5 π

Resposta

5 π

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