Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.2 - Ex. 6

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C x e y   d x

C é o arco da curva x = e y de ( 1 ,   0 ) a ( e ,   1 )

Passo 1

Faala, turma!

Essa questão quer que a gente calcule uma integral de linha:

∫ C x e y   d x

Nesse caso, podemos calcular assim:

∫ C f x , y d x = ∫ a b f r → t x ' t d t

Onde r → t = x t , y t com a ≤ t ≤ b é uma parametrização de C .

Então vamos começar parametrizando C pra descobrir quem é esse r → . Daí, achamos o x ' t e conseguimos aplicar a fórmula e calcular a integral!

Passo 2

Nossa curva é definida por:

x = e y

Então podemos parametrizar de forma explícita com:

y = t

x = e t

A parametrização fica:

r → t = e t , t

A curva vai de 1,0 até e , 1 , então:

0 ≤ y ≤ 1

E como y = t :

0 ≤ t ≤ 1

Vamos calcular a derivada de x :

x t = e t

x ' t = e t

Passo 3

Agora conseguimos usar essa fórmula pra integral:

∫ C f x , y d x = ∫ a b f r → t x ' t d t

As informações que temos são:

f x , y = x e y

r → t = e t , t

0 ≤ t ≤ 1

x ' t = e t

Então:

∫ C f x , y d x = ∫ 0 1 f e t , t e t d t

= ∫ 0 1 e t ∙ e t ∙ e t d t

Juntando os três exponenciais:

= ∫ 0 1 e 3 t d t

Passo 4

Pra resolver essa integral, vamos fazer uma substituição u = 3 t :

d u = 3 d t ⇒ d t = 1 3 d u

u 0 = 0

u 1 = 3

Então

= ∫ 0 3 e u ∙ 1 3 d u

= 1 3 ∙ e u 0 3

Substituindo os limites de integração, achamos o valor da integral:

= 1 3 ∙ e 3 - e 0

= 1 3 e 3 - 1

Resposta

∫ C x e y   d x = 1 3 ⋅ e 3 - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Exercício de Livro
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C x y e y zd y C : x = t ,y = t 2 ,z =t 3 com 0 ≤ t ≤ 1
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C x y zd s C : x = 2s e nt ,y = t ,z =- 2 cos ⁡ t com 0 ≤ t ≤ π