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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.2 - Ex. 12

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

Passo 1

Fala, galerinha! Tranquilidade?

A questão pede a integral de linha de:

∫ C x 2 + y 2 + z 2 ⋅ d s

Na curva parametrizada por:

x = t ,     z = sin ⁡ 2 ⋅ t ,   y = cos ⁡ 2 ⋅ t ,   0 ≤ t < 2 ⋅ π

Para resolver uma integral de linha de 3 variáveis, devemos resolver a equação:

∫ C f x , y , z ⋅ d s = ∫ a b f x t , y t , z ( t ) ⋅ d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 ⋅ d t

Ou seja, o enunciado já nos deu os limites de integração em t e a parametrização para y , x e z . Precisamos então encontrar as derivadas parciais dessas parametrizações. Daí é só substituirmos na nossa equação e calcularmos o valor da nossa integral de linha.

Vamos lá!

Passo 2

O problema nos dá todas as informações necessárias para calcular a integral de linha, precisamos apenas calcular qual a norma de d s , que é dada por

d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2

  • d x d t : derivando em relação a t :

    • x = t

    Temos:

    d x d t = 1

  • d y d t : derivando em relação a t :

    • y = cos ⁡ 2 t

    Temos:

    d y d t = - 2 sin ⁡ 2 t

  • d z d t : derivando em relação a t :

z = sin ⁡ 2 t

Temos:

d z d t = 2 cos ⁡ 2 t

Substituindo os valores que encontramos:

= 1 2 + - 2 ⋅ sin ⁡ 2 ⋅ t 2 + 2 ⋅ cos ⁡ 2 ⋅ t 2 =

Elevando os termos dentro dos parênteses ao quadrado:

= 1 + 4 ⋅ sin 2 ⁡ 2 ⋅ t + cos 2 ⁡ 2 ⋅ t

Como temos pela identidade trigonométrica que

sin 2 ⁡ 2 t + cos 2 ⁡ 2 t = 1

Ficamos com:

= 1 + 4 ⋅ 1 = 5

Passo 3

Vamos reescrever também a função que está sendo integrada em relação aos parâmetros de t :

Como:

x = t ,     z = sin ⁡ 2 t ,   y = cos ⁡ 2 t

Ficamos com:

x 2 + y 2 + z 2 = t 2 + cos 2 ⁡ 2   t + sin 2 ⁡ 2 t

Então agora é só substituímos na nossa equação do passo 1. Então temos que

∫ C x 2 + y 2 + z 2 ⋅ d s = ∫ 0 2 ⋅ π t 2 + cos 2 ⁡ 2   ⋅ t + sin 2 ⁡ 2 ⋅ t ⋅ 5 ⋅ d t =

Usando novamente a identidade trigonométrica

sin 2 ⁡ 2 t + cos 2 ⁡ 2 t = 1

ficamos com:

∫ C x 2 + y 2 + z 2 ⋅ d s = 5 ⋅ ∫ 0 2 ⋅ π t 2 + 1 ⋅ d t

Agora é só resolvermos nossa integral:

= 5 ⋅ t 3 3 + t 0 2 ⋅ π

Aplicando os limites de integração:

= 5 ⋅ 1 3 ⋅ 2 ⋅ π 3 + 0 + 2 ⋅ π =

Finalmente, teremos:

∫ C x 2 + y 2 + z 2 d s = 5 8 π 3 3 + 2 π

Resposta

∫ C x 2 + y 2 + z 2 d s = 5 8 π 3 3 + 2 π

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