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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.2 - Ex. 14

Calcular as integrais curvilíneas.

∫ C x y 2 1 + 4 x 2 y 4   d s , onde C   é a curva dada por, y = 1 1 + x 2 ,   de 0,1   a t é   1 , 1 2 .

Passo 1

Vamos começar parametrizando a curva, fazendo x = t .

Aí vai ficar:

C = t , 1 1 + t 2

Sendo que o intervalo de t é 0,1 .

Agora a gente vai derivar essa parametrização:

C ' = 1 ,   - 2 t 1 + t 2 2

E pra terminar o d s a gente faz a norma dessa derivada...

C ' = 1 + 4 t 2 1 + t 2 4

Passo 2

Vamos montar a integral com esses resultados agora...

∫ 0 1 t ∙ 1 1 + t 2 2 1 + 4 t 2 1 + t 2 4   1 + 4 t 2 1 + t 2 4   d t

Olha que maravilha! Aqui dá pra cortar essas raízes😊

∫ 0 1 t 1 1 + t 2 2 d t

∫ 0 1 t 1 1 + t 2 2 d t

Passo 3

Vamos fazer uma substituiçãozinha...

u = 1 + t 2

d u = 2 t   d t → d u 2 = t   d t

1 2 ∫ 1 u 2 d u

1 2 - 1 u

Voltamos para a variável t ...

1 2 - 1 1 + t 2 0 1

1 2 - 1 2 + 1

1 2 1 2 = 1 4

Prontinho😉

Resposta

1 4

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