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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.2 - Ex. 12

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

int_C (2 x + 9 z) d s , C : x = t , y = t^2 , z = t^3 , 0 <= t <= 1

Passo 1

Galera, de acordo com a parametrização para C , temos:

2 x + 9 z = 2 t + 9 t^3

E o elemento de arco é dado por

d s = sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2 + ((d z)/(d t))^2) d t

Pra calcular isso precisamos das derivadas de x , y e z em relação a t

(d x)/(d t) = (d ( t ))/(d t) = 1

(d y)/(d t) = (d ( t^2 ))/(d t) = 2 t

(d z)/(d t) = (d ( t^3 ))/(d t) = 3 t^2

Jogando isso em d s

d s = sqrt((1)^2 + (2 t)^2 + (3 t^2)^2) d t = sqrt(1 + 4 t^2 + 9 t^4) d t

Juntando todas essas informações, podemos escrever:

int_C (2 x + 9 z) d s = int_0^1 ( 2 t + 9 t^3 ) sqrt(1 + 4 t^2 + 9 t^4) d t

Passo 2

Agora vamos resolver a integral obtida:

int_0^1 (2 t + 9 t^3) sqrt(1 + 4 t^2 + 9 t^4) d t

Pra fazer essa integralzinha vamos usar a seguinte substituição

u = 1 + 4 t^2 + 9 t^4

De forma que

d u = (8 t + 36 t^3) d t = 4 (2 t + 9 t^3) d t -> (2 t + 9 t^3) d t = (1)/(4) d u

E os limites de integração ficam

x = 0 -> u = 1

x = 1 -> u = 1 + 4 (1)^2 + 9 (1)^4 = 14

Então a nossa integral fica

int_1^(14) sqrt(u) (d u)/(4) = (1)/(4) int_1^(14) u^((1)/(2)) d u = (1)/(4) ((2)/(3) u^((3)/(2)))_1^(14) = (1)/(4) (2)/(3) (sqrt(14^3) - sqrt(1^3))

= (1)/(6) (14 sqrt(14) - 1)

Resposta

(1)/(6) (14 sqrt(14) - 1)

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