Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.2 - Ex. 8
Calcule o valor da integral de linha, onde é a curva dada.
, consiste no arco de círculo de até seguido pelo segmento de linha de até .
Passo 1
Fala, galerinha! De boa?
A questão pede o valor da nossa integral de linha:
Sob a curva em que consiste no arco de círculo de até seguido pelo segmento de linha de até .
Uma integral de linha é como uma integral convencional que ao invés de integrarmos sobre um intervalo, vamos integrar sobre uma curva .
Nesse caso nossa curva está sendo dada em duas partes, pelo arco e pelo segmento de linha. Então, faremos duas integrais, uma sob cada uma dessas partes de curva, e depois somamos para acharmos nossa integral de linha total.
Para resolvermos essas integrais, precisamos parametrizar nossos valores de , , e em função de . Depois, é só substituirmos na nossa equação acima e calcularmos nossa integral normalmente. e são equações paramétricas da nossa linha .
Então, nossa resolução será feita primeiro encontrando as equações paramétricas e que iremos usar.
Vamos passo a passo!
Passo 2
Nesse exercício, devemos dividir a integral em duas curvas, e , pois temos dois segmentos não contínuos. Vamos achar as equações paramétricas para cada um dos seguimentos:
- : arco de círculo de até
- Ponto inicial :
- : segmento de linha de até
- Ponto inicial :
- Ponto final :
Lembra das nossas integrais sobre regiões circulares, onde era mais fácil descrevermos essas regiões em coordenas polares? Aqui temos um arco de círculo, então podemos usar a mesma estratégia:
Para as coordenadas polares:
Como termos um círculo com equação:
Vemos que seu raio é:
Então:
Aí nossos parâmetros ficam:
Vamos achar nossa variação por esses parâmetros:
Temos então, resolvendo cada uma das equações:
A variação de será:
Passo 3
Para o segmento de linha, utilizamos a parametrização linear:
Usando os pontos e :
Vamos achar nossa variação por esses parâmetros:
A variação de será:
As derivadas de e com relação a para cada curva são:
Agora que já temos essas informações, podemos calcular nossas integrais.
Passo 4
Vamos antes de tudo montar:
Para cada curva:
Substituindo:
Substituindo:
Agora que temos nossas funções parametrizadas e seus limites de integração em , é só calcularmos nossas integrais, onde as variações de são nossos limites de integração.
Passo 3
Reescrevendo a integral, agrupando os termos em comum, temos:
Passo 4
Agora, resolvendo cada integral para , temos:
Aplicando os limites de integração:
Simplificando:
Dessa forma, o valor da integral é: