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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.2 - Ex. 13

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C x y e y z   d y

C : x = t ,   y = t 2 ,   z =   t 3 com 0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Falai aii !!!

Gente, por mais que essa integral tenha uma cara assustadora, ela não vai ser tão trabalhosa para resolvermos.

A primeira coisa que vamos precisar fazer é a parametrização da curva. O exercício nos informa que:

x = t ,   y = t 2 ,   z =   t 3

Então para isso precisamos achar quem a derivada de y em função de t , ou seja, d d t ( y ) , e substituir os novos valores de x , y   e   z na função.

Com essas informações podemos calcular a integral.

Passo 2

Vamos começar achando d d t ( y ) :

Sabemos que y = t 2

d d t ( y ) = d d t ( t 2 )

d d t ( y ) = 2 t

d y = 2 t   d t

Show ,agora vamos substituir os novos valores de x , y   e   z na função.

f ( x , y , z ) = x y e y z  

sendo : x = t ,   y = t 2 ,   z =   t 3

f ( x , y , z ) = t .   t 2 e ( t . t 2 )  

Perfeito , já temos todas as informações que precisamos. Lembrando que o exercício já nos deu o limite de integração: 0 ≤ t ≤ 1

Assim utilizando a parametrização sugerida, temos

∫ 0 1 t   t 2 e t 2 t 3 2 t   d t

vamos melhorar um pouco essa integral multiplicando os valores dentro dela:

∫ 0 1 2 t 4 e t 5 d t

Passo 3

Agora estamos prontos para calcular.

∫ 0 1 2 t 4 e t 5 d t

Vamos resolvê-la pelo método de substituição :

t 5 = u

5 t 4 d t = d u

d t = d u 5 t 4

Vamos substituir esses valores na nossa integral:

∫ 0 1 2 t 4 e u . d u 5 t 4

Cortando o t 4 :

∫ 0 1 2 5 e u d u

∫ 0 1 2 t 4 e u . d u 5 t 4 = 2 5 e u   0 1

Vamos substituir de volta t 5 = u

2 5 e t 5   0 1

2 5 e 1 - e 0

Assim:

∫ 0 1 2 t 4 e t 5 d t = 2 5 ( e - 1 )

Resposta

2 5 ( e - 1 )

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