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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.2 - Ex. 13

Calcular as integrais curvilíneas.

∫ C x y 2 1 - 2 x 2   d s , onde C   é a parte da curva de Gauss, y = e - x 2 ,   A 0,1 a   B 1 2 , 1 e

Passo 1

Vamos começar parametrizando a curva, fazendo x = t .

Aí vai ficar:

C = t ,   e - t 2

Sendo que o intervalo de t é 0 , 1 2 .

Agora a gente vai derivar essa parametrização:

C ' = 1 ,   - 2 t e - t 2

E pra terminar o d s a gente faz a norma dessa derivada...

C ' = 1 2 + - 2 t e - t 2 2

= 1 + 4 t 2 e - 2 t 2

Passo 2

Vamos montar a integral com esses resultados agora...

∫ 0 1 / 2 t e - t 2 2 1 - 2 t 2 1 + 4 t 2 e - 2 t 2   d t

∫ 0 1 2 t   e - 2 t 2 - 2 t 3 e - 2 t 2 1 + 4 t 2 e - 2 t 2 d t

Vamos fazer uma substituição:

u = 1 + 4 t 2 e - 2 t 2

d u = 8 t e - 2 t 2 - 16 t 3 e - 2 t 2   d t

d u 8 = t e - 2 t 2 - 2 t 3 e - 2 t 2 d t

1 8 ∫ u   d u

1 8 2 3 u 3 2

Passo 3

Agora a gente volta pra variável t ...

1 12 1 + 4 t 2 e - 2 t 2 0 1 2

1 12 1 + 4 1 2 e - 1 3 2 - 1 3 2

1 12 1 + 2 e 3 2 - 1

Prontinho😉

Resposta

1 12 1 + 2 e 3 2 - 1

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