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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.11 - Ex. 6

  1. Encontrar a área da superfície do cone z 2 = 3 ( x 2 + y 2 ) interceptado pelo paraboloide z = x 2 + y 2 .

Passo 1

De maneira simples, temos que lembrar que o cálculo da área de uma superfície é dada por

A S = ∬ R 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d x   d y

Assim precisamos apenas conhecer nossa funções z e nossos limites de integração.

Passo 2

Não estamos construindo o Frankenstein, mas vamos por partes. Primeiro vamos calcular as derivadas direcionais.

Tome que

z = 3 ( x 2 + y 2 )

então

∂ z ∂ x = 3 x 3 x 2 + y 2

e

∂ z ∂ y = 3 y 3 x 2 + y 2

E assim teremos um fator de integração dado por

1 + 3 x 3 x 2 + y 2 2 + 3 y 3 x 2 + y 2 2 = 2

Passo 3

Agora vamos olhar para nossos limites de integração. O enunciado nos dá que estamos limitados pelo paraboloide z = x 2 + y 2 . E como todo bom paraboloide, temos que z ≥ 0 , pois teremos que x 2 + y 2 ≥ 0 .

A pergunta é, quando que nosso cone, cruza com o paraboloide? E a resposta é, quando

x 2 + y 2 = z = 3 x 2 + y 2

Ou podemos escrever de maneira mais simples

z 2 = 3 z → z = 3

Passo 4

Voltando para o passo 2, vamos adorar coordenadas cilíndricas para descrever nosso cone. Assim teremos

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z 2 = r

Desta forma já conseguimos determinar nossos limites de integração com r ∈ [ 0 , 3 ] e θ ∈ 0,2 π

Desta forma nossa integral se resume em

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 2 r   d r   d θ

Onde nosso d x   d y → r   d r   d θ

Integrando em θ

A S = 4 π ∫ 0 3 r   d r

Desta forma teremos

A S = 4 π r 2 2 0 3 = 6 π

Resposta

6 π   u . a

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Dada a equação vetorial r → u , v = ( u cos ⁡ v ,us e nv ,u 2 ) Eliminar os parâmetros u e v determinando a equação cartesiana da superfície
Uma superfície S é representada pela equação vetorial r → u , v = cos ⁡ vi → + s e nvj → + uk → ,0 ≤ u ≤ 4 ,≤ v ≤ 2 π . Mostrar que S é uma parte de uma superfície de revolução.
Uma superfície S é representada pela equação vetorial r → u , v = cos ⁡ vi → + s e nvj → + uk → ,0 ≤ u ≤ 4 ,≤ v ≤ 2 π . Determinar a área de S
Calcular ∫ ∫ S x + y + zd S S é a face superior do cubo 0 ≤ x ≤ 1 ,0 ≤ y ≤ 1 ,0 ≤ z ≤ 1 S é a face da frente do cubo do item a)