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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 16.2 - Ex. 9

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

int_C x y^3 d s , C : x = 4 s e n t , y = 4 cos t , z = 3 t , 0 <= t <= (pi)/(2)

Passo 1

Galera, a gente tem que escrever a integral de linha como uma integral iterada, mudando para a variável t , conforme a curva C .

Como 0 <= t <= (pi)/(2) , 0 e (pi)/(2) vão ser os limites de integração. Também teremos:

x y^3 = 4 s e n t . 4^3 cos^3 t = 256 cos^3 t s e n t

d s = sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2 + ((d z)/(d t))^2) d t = sqrt((4 cos t)^2 + (- 4 s e n t)^2 + (3)^2) d t = sqrt(16 + 9) d t = 5 d t

Juntando todas essas informações, podemos escrever:

int_C x y^3 d s = int_0^(pi // 2) 1280 cos^3 t s e n t d t

Passo 2

Agora vamos resolver a integral obtida:

int_0^(pi // 2) 1280 cos^3 t s e n t d t = 1280 [- (cos^4 t)/(4)]_0^(pi // 2) = 320 (0 + 1) = 320

Resposta

320

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