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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.9 - Ex. 7

Calcular a integral indefinida.

int (1 + cos x)/(1 - s e n x)

Passo 1

Vamos lá, aqui a gente tem uma função racional de seno e cosseno.

O próprio livro dá o macete pra resolver esse tipo de integral. A gente usa a substituição:

t = t g (x)/(2)

E com isso a gente tem que:

s e n x = (2 t)/(1 + t^2) ; cos x = (1 - t^2)/(1 + t^2) e d x = (2 d t)/(1 + t^2)

Vamos lá então...

Passo 2

Substituindo, fica assim:

int (1 + (1 - t^2)/(1 + t^2))/(1 - (2 t)/(1 + t^2)) * (2 d t)/(1 + t^2)

Vamos dar uma ajeitada agora...

int (((1 + t^2 + 1 - t^2)/(1 + t^2))/(1 + t^2 - 2 t))/(1 + t^2) * (2 d t)/(1 + t^2)

= int (2)/((t - 1)^2) * ((2 d t)/(1 + t^2))

= int (4 d t)/((t - 1)^2 (1 + t^2))

Agora tá mais bonitinho... mas pra resolver essa a gente vai ter que usar frações parciais!

Passo 3

A gente precisa escrever assim:

(4)/((t - 1)^2 (1 + t^2)) = (A)/(t - 1) + (B)/((t - 1)^2) + (C t + D)/(1 + t^2)

Vamos desenvolver e eliminar os denominadores agora:

4 = A (t - 1) (t^2 + 1) + B (t - 1)^2 + (C t + D) (t - 1)^2

4 = A (t^3 + t - t^2 - 1) + B (t^2 + 1) + (C t + D) (t^2 - 2 t + 1)

4 = A t^3 + A t - A t^2 + B t^2 + B + C t^3 - 2 C t^2 + C t + D t^2 - 2 D t + D

Pra isso ser verdadeiro, a gente precisa que:

{[[A + C = 0],[- A + B - 2 C + D = 0],[A + C - 2 D = 0],[- A + B + D = 4]])

Daqui a gente acha que:

A = - 2 ; B = 2 ; C = 2 ; D = 0

Passo 4

Agora a gente remonta a integral assim:

int - (2)/(t - 1) + (2)/((t - 1)^2) + (2 t)/(t^2 + 1) d t

Beleza, agora integrando fica assim:

= - 2 ln |t - 1| - (2)/(t - 1) + ln |t^2 + 1| + C

Agora a gente volta pra variável x :

= - 2 ln |t g ((x)/(2)) - 1| - (2)/(t g ((x)/(2)) - 1) + ln |t g^2 ((x)/(2)) + 1| + C

E... pronto!!

Resposta

- 2 ln |t g ((x)/(2)) - 1| - (2)/(t g ((x)/(2)) - 1) + ln |t g^2 ((x)/(2)) + 1| + C

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