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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.7 - Ex. 26

Calcular a área da superfície gerada pela rotação do arco de curva dado, em torno do eixo indicado.

y = 4 - x 2 ,   0 ≤ x ≤ 1 , eixo dos x

Passo 1

Nesses casos a gente usa a seguinte fórmula:

A = 2 π ∫ a b f x 1 + f ' x 2 d x

Vamos começar derivando então...

f ' x = - x 4 - x 2

Agora a gente joga na fórmula:

A = 2 π ∫ 0 1 4 - x 2 1 + x 2 4 - x 2 d x

Passo 2

Vamos desenvolver agora...

A = 2 π ∫ 0 1 4 - x 2 4 - x 2 + x 2 4 - x 2 d x

= 2 π ∫ 0 1 4 - x 2 4 4 - x 2 d x

= 2 π ∫ 0 1 2   d x

= 2 π 2 x 0 1

A = 2 π ∙ 2

A = 4 π   u . a .

Prontinho! Essa é a área pedida😉

Resposta

A = 4 π   u . a

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Use a regra de Simpson com n = 10 para aproximar a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x . Compare o seu resultado com o valor da integral obtido em sua calculadora y = x
A fórmula 4 é válida somente quando f x ≥ 0 . Mostre que quando f ( x ) não é necessariamente positiva, a fórmula para a área da superfície se torna: ∫ a b 2 π f ( x ) 1 + f ' x 2 d x
(b) Use o recurso de integração numérica de uma calculadora para avaliar as áreas da superfície correta com quatro casas decimais. 5 . x = y + y 3 ,0 ≤ y ≤ 1
(b) Use o recurso de integração numérica de uma calculadora para avaliar as áreas da superfície correta com quatro casas decimais. 6 .y = tan - 1 ⁡ x ,0 ≤ x ≤ 2
Encontre a área exata da superfície obtida girando a curva em torno do eixo x. 11 .y = cos ⁡ 1 2 x ,0 ≤ x ≤ π