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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.7 - Ex. 23

Calcular a área da superfície gerada pela rotação do arco de curva dado, em torno do eixo indicado.

x = y ,   1 ≤ y ≤ 4 ,   e i x o   d o s   y

Passo 1

Nesses casos a gente usa a seguinte fórmula:

A = 2 π ∫ a b f x 1 + f ' x 2 d x

Vamos começar derivando então...

f ' x = 1 2 y

Agora a gente joga na fórmula:

A = 2 π ∫ 1 4 y 1 + 1 2 y 2 d y

Passo 2

Vamos desenvolver agora...

A = 2 π ∫ 1 4 y 4 y + 1 4 y d y

A = 2 π ∫ 1 4 y 1 + 4 y 1 2 2 y d y

A = π ∫ 1 4 1 + 4 y 1 2

A = π 4 1 + 4 y 3 2 3 2 1 4

A = π 4 ∙ 2 3 17 3 2 - 5 3 2

A = π 6 ( 17 17 - 5 5 )

Prontinho! Essa é a área procurada😉

Resposta

A = π 6 ( 17 17 - 5 5 )

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A curva dada é rotacionada em torno do eixo y . Encontre a área da superfície resultante.
Faça com que L seja o comprimento da curva y = f x ,a ≤ x ≤ b , onde f é positiva e tem derivada contínua. Faça com que S f seja a área da superfície gerada pela rotação da curva ao redor do eixo x .
A curva dada é rotacionada em torno do eixo y . Encontre a área da superfície resultante.
Use a regra de Simpson com n = 10 para aproximar a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x . Compare o seu resultado com o valor da integral obtido em sua calculadora y = ln
Mostre que se rotacionarmos a curva y = e x / 2 + e - x / 2 ao redor do eixo x , a área da superfície resultante tem o mesmo valor que o volume enclausurado para qualquer intervalo a ≤ x ≤ b .