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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.5 - Ex. 38

Nos Exercícios 37-40, encontre o valor médio de F(x, y, z) sobre a

região determinada

F(x, y, z) = x + y – z sobre o sólido retangular no primeiro octante, delimitado pelos planos coordenados e os planos x = 1,

y = 1 e z = 2

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Sabemos que a integral tripla que fornece o valor médio sobre a região pedida é:

1 2 ∫ 0 1   ∫ 0 1   ∫ 0 2   ( x + y - z ) d z d y d x

Resolvendo a integral acima, teremos o valor médio desejado.

Passo 2

Primeiro passo, integrando e m z :

1 2 ∫ 0 1     ∫ 0 1     x z + y z - z 2 2 0 2 d y d x 1 2 ∫ 0 1     ∫ 0 1     2 x + 2 y - 2 d y d x

Passo 3

Fazemos a mesma coisa agora integrando em y :

1 2 ∫ 0 1     2 x y + y 2 2 - 2 y 0 1 d x 1 2 ∫ 0 1     ( 2 x - 1 ) d x

Passo 4

E finalmente integrando em x , teremos:

1 2 [ ( 2 x - 1 ) ] 0 1 = 0

Resposta

Portanto, chegamos ao nosso resultado final, no qual o valor médio é zero.

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