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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.5 - Ex. 42

Calcule as integrais nos Exercícios 41-44 alterando a ordem de integração de maneira apropriada.

∫ 0 1   ∫ 0 1   ∫ x 2 1   12 x z e - y 2 d y d x d z

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Considere a integral tripla:

∫ 0 1   ∫ 0 1   ∫ x 2 1   12 x z e z y 2 d y d x d z

Agora iremos alterar a ordem de integração para resolvê-la de forma mais conveniente.Acompanhe com atenção!

Passo 2

A integral pode ser reescrita como:

∫ 0 1   ∫ 0 1   ∫ 0 y   12 x z e z y 2 d x d y d z

Passo 3

Sendo assim, integrando em x :

  ∫ 0 1     ∫ 0 1     12 x 2 2 z e z y 2 0 y d y d z   ∫ 0 1     ∫ 0 1     6 y z e z y 2 d y d z

Passo 4

Integrando em y :

  ∫ 0 1     6 1 2 z e z y 2 0 1 d z   ∫ 0 1     3 z e z d z

Passo 5

E finalmente integrando em z :

3 e z - z 0 1

Note que e 0 = 1 , então:

3 [ e - 2 ]

3 e - 6

Resposta

Portanto, chegamos à conclusão de que o valor da integral é 3 e - 6 .

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