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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.7 - Ex. 4

Calcule a integral iterada.

int_0^1 int_x^(2 x) int_0^y 2 x y z d z d y d x

Passo 1

Ele nos pede para calcular a seguinte integral:

I = int_0^1 int_x^(2 x) int_0^y 2 x y z d z d y d x

A ideia nesse caso é fazer de dentro pra fora.

Passo 2

Pra começar, vamos integrar em z . olha só:

I = int_0^1 int_x^(2 x) 2 x y [(z^2)/(2)]_0^y d y d x

Assim,

I = int_0^1 int_x^(2 x) 2 x y ((y^2)/(2) - 0) d y d x

Logo,

I = int_0^1 int_x^(2 x) x y^3 d y d x

Passo 3

Agora vamos integrar em y . Vem comigo!

I = int_0^1 x [(y^4)/(4)]_x^(2 x) d x

Aplicando entre esses pontos:

I = int_0^1 x xx (((2 x)^4)/(4) - (x^4)/(4)) d x

Arrumando as coisas:

I = int_0^1 (15 x^5)/(4) d x

Passo 4

Por fim, vamos integrar em x :

I = int_0^1 (15 x^5)/(4) d x

Logo,

I = (15)/(4) xx [(x^6)/(6)]_0^1

Fazendo as contas:

I = (15)/(4) xx ((1)/(6) - 0)

Por fim,

I = (5)/(8)

Resposta

(5)/(8)

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Calcule a integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 z ∫ 0 y z e - y 2 d xd yd z
Calcule a integral iterada. ∫ 0 π ∫ 0 x ∫ 0 x z x 2s e nyd yd zd x
Calcule a integral iterada. ∫ 0 π / 2 ∫ 0 y ∫ 0 x cos ⁡ ( x + y + z )d zd xd y
Calcule a integral tripla. ∫ ∫ ∫ E y z cos ⁡ ( x 5 )d V , onde E = x ,y ,z0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ x,x ≤ z ≤ 2 x }
Calcule a integral iterada. ∫ 0 3 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z 2 z e yd xd zd y