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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.5 - Ex. 31

Encontre os volumes das regiões nos Exercícios 23-36.

A região no primeiro octante delimitada pelos planos coordenados, o plano x + y = 4 e o cilindro y2 + 4z2 = 16

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Determine o volume da região no primeiro octante limitada pelos planos coordenados, sendo 0 plano x + y = 4 e o cilindro y 2 + 4 z 2 = 16

Passo 2

O calculo do volume é dado por:   ∫ 0 4     ∫ 0 16 - y 2 / 2     ∫ 0 4 - y     d x d z d y = ∫ 0 4     ∫ 0 16 - y 2     / 2 ( 4 - y ) d z d y   = ∫ 0 4     16 - y 2 2 ( 4 - y ) d y = ∫ 0 4     2 16 - y 2 d y - 1 2 ∫ 0 4     y 16 - y 2 d y   = y 16 - y 2 + 16 s e n - 1 ⁡ y 4 0 4 + 1 6 16 - y 2 3 2 0 4   = 16 π 2 - 1 6 ( 16 ) 3 2 = 8 π - 32 3

Resposta

Portanto o volume é igual a 8 π - 32 3 .

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