Calcular os seguintes limites envolvendo indeterminações:

e) lim x → 0 y → 1 ⁡ y sen ⁡ x x y + 2 x

Passo 1

Queremos então calcular o lim x → 0 y → 1 ⁡ y sen ⁡ x x y + 2 x . Só que ao calculamos diretamente, encontraremos que lim x → 0 y → 1 ⁡ y sen ⁡ x x y + 2 x = 0 0 que é uma indeterminação.

Passo 2

Podemos reescrever o limite como uma multiplicação de dois limites da seguinte maneira:

lim x → 0 y → 1 ⁡ y sen ⁡ x x y + 2 x = lim x → 0 y → 1 ⁡ y sen ⁡ x x y + 2 = lim x → 0 y → 1 ⁡ sen ⁡ x x ⋅ lim x → 0 y → 1 ⁡ y y + 2

Passo 3

Dessa forma temos que:

lim x → 0 y → 1 ⁡ y y + 2 = 1 1 + 2 = 1 3

E temos também que:

lim x → 0 y → 1 ⁡ sen ⁡ x x

Aplicando l’hôpital

= lim x → 0 y → 1 ⁡ cos ⁡ x 1 = 1

Assim, o podemos dizer que:

lim x → 0 y → 1 ⁡ y sen ⁡ x x y + 2 x = lim x → 0 y → 1 ⁡ sen ⁡ x x ⋅ lim x → 0 y → 1 ⁡ y y + 2 = 1 ⋅ 1 3 = 1 3

Resposta

lim x → 0 y → 1 ⁡ y sen ⁡ x x y + 2 x = 1 3

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