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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 3.7 - Ex. 20e

Calcular os seguintes limites envolvendo indeterminações:

e) lim x → 0 y → 1 ⁡ y sen ⁡ x x y + 2 x

Passo 1

Queremos então calcular o lim x → 0 y → 1 ⁡ y sen ⁡ x x y + 2 x . Só que ao calculamos diretamente, encontraremos que lim x → 0 y → 1 ⁡ y sen ⁡ x x y + 2 x = 0 0 que é uma indeterminação.

Passo 2

Podemos reescrever o limite como uma multiplicação de dois limites da seguinte maneira:

lim x → 0 y → 1 ⁡ y sen ⁡ x x y + 2 x = lim x → 0 y → 1 ⁡ y sen ⁡ x x y + 2 = lim x → 0 y → 1 ⁡ sen ⁡ x x ⋅ lim x → 0 y → 1 ⁡ y y + 2

Passo 3

Dessa forma temos que:

lim x → 0 y → 1 ⁡ y y + 2 = 1 1 + 2 = 1 3

E temos também que:

lim x → 0 y → 1 ⁡ sen ⁡ x x

Aplicando l’hôpital

= lim x → 0 y → 1 ⁡ cos ⁡ x 1 = 1

Assim, o podemos dizer que:

lim x → 0 y → 1 ⁡ y sen ⁡ x x y + 2 x = lim x → 0 y → 1 ⁡ sen ⁡ x x ⋅ lim x → 0 y → 1 ⁡ y y + 2 = 1 ⋅ 1 3 = 1 3

Resposta

lim x → 0 y → 1 ⁡ y sen ⁡ x x y + 2 x = 1 3

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Calcular os limites seguintes:o) underset([[x - 1],[y - 1]])(lim) (x y - y) sen (1)/(x - 1) cos (1)/(y - 1)
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Nos Exercícios 67 e 68, defina f (0, 0) de maneira que f se estenda a uma função contínua na origem. f x , y = ln ⁡ 3 x 2 - x 2 y 2 + 3 y 2 x 2 + y 2