Calcular os seguintes limites envolvendo indeterminações:

f) lim x → 0 y → 2 ⁡ 1 + x 1 + x y x

Passo 1

Queremos então calcular o lim x → 0 y → 2 ⁡ 1 + x 1 + x y x . Só que ao calculamos diretamente, encontraremos uma indeterminação.

Passo 2

Podemos reescrever o limite como uma multiplicação de dois limites da seguinte maneira:

lim x → 0 y → 2 ⁡ 1 + x 1 + x y x = lim x → 0 y → 2 ⁡ 1 + x 1 x ⋅ 1 + x x y x = lim x → 0 y → 2 ⁡ 1 + x 1 x ⋅ 1 + x y

= lim x → 0 y → 2 ⁡ 1 + x 1 x ⋅ lim x → 0 y → 2 ⁡ 1 + x y

Passo 3

Dessa forma podemos calcular o limite separadamente:

lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x = lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ 1 + x 1 x = lim x → 0 ⁡ e 1 x ln ⁡ 1 + x = lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ 1 + x x

Aplicando l’hôpital

= lim x → 0 ⁡ e 1 1 + x 1 = lim x → 0 ⁡ e 1 1 + x = e 1 = e

E temos também que:

lim x → 0 y → 2 ⁡ 1 + x y = 1 + 0 2 = 1

Assim, podemos dizer que:

lim x → 0 y → 2 ⁡ 1 + x 1 + x y x = lim x → 0 y → 2 ⁡ 1 + x 1 x ⋅ lim x → 0 y → 2 ⁡ 1 + x y = e ⋅ 1 = e

Resposta

lim x → 0 y → 2 ⁡ 1 + x 1 + x y x = e

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