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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.9 - Ex. 25a

Calcular a massa e as coordenadas do centro de massa dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas, supondo a densidade de massa constante.

  1. x 2 + y 2 + z 2 - 2 z

Passo 1

Aqui a gente tem uma esfera de raio 1 com centro em ( 0,0 , 1 ) . Vamos ver a figura:

Considerando a densidade constante, usamos δ x , y , z = K . E vamos usar coordenadas esféricas.

x = ρ s e n ϕ cos ⁡ θ y = ρ s e n ϕ s e n θ z = ρ c o s ϕ

d x d y d z = ρ 2 s e n ϕ d ρ d ϕ d θ

Passo 2

Os intervalos aqui vão ser:

0 ≤ ρ ≤ 1

0 ≤ ϕ ≤ π

0 ≤ θ ≤ 2 π

Montando a integral, temos:

M = ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 1 K ρ 2 s e n ϕ   d ρ d ϕ \ d θ

M = K ∫ 0 2 π ∫ 0 π ρ 3 3 s e n ϕ 0 1 d ϕ   d θ

M = 1 3 K ∫ 0 2 π ∫ 0 π s e n   ϕ   d ϕ d θ

M = 1 3 K   ∫ 0 2 π - cos ⁡ ϕ 0 π d θ

M = 1 3 K ∫ 0 2 π 2   d θ

M = 1 3 K ( 2 π 2 )

M = 4 3 k π

Beleza, essa é a massa😉

Passo 3

O centro de massa de uma esfera de raio 1 quando a densidade é constante é o próprio centro da esfera (isso está no exercício 22) , logo, o centro de massa dessa esfera é:

C m = ( 0,0 , 1 )

Prontinho!

Resposta

M = 4 3 k π

C m = ( 0,0 , 1 )

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