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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.9 - Ex. 24

Calcular o momento de inércia em relação ao eixo dos x do sólido delimitado por z = x 2 + y 2 e z = 4 . A densidade de massa em um ponto P x , y , z   é dada por x 2   k g / m 3 .

Passo 1

Vamos lá, o momento de inércia em relação ao eixo x é dado por:

I x = ∭ D y 2 + z 2 δ x , y , z d V

Vamos começar fazendo a interseção da função com o plano. A gente tem que:

x 2 + y 2 = 4

x 2 + y 2 = 16

Ou seja, é um círculo de raio 4 . A gente vai usar coordenadas cilíndricas pra determinar a integral então...

x = r c o s   θ y = r s e n θ z = z

Sendo que aqui:

0 ≤ r ≤ 4

0 ≤ θ ≤ 2 π

r ≤ z ≤ 4

Passo 2

A integral da forma normal, seria:

I x = ∭ D y 2 + z 2 x 2 d V

I x = ∭ D y 2 x 2 + z 2 x 2   d V

Agora passando pra cilíndricas...

I x = ∫ 0 2 π ∫ 0 4 ∫ r 4 r 2 se n 2 ⁡ θ r 2 cos 2 ⁡ θ + z 2 r 2 cos 2 ⁡ θ r d z d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 4   [ r 5 s e n 2 θ cos 2 ⁡ θ z + z 3 r 3 cos 2 ⁡ θ 3 ] r 4 d r d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 4 4 r 5 s e n 2 θ cos 2 ⁡ θ + 4 3 r 3 cos 2 ⁡ θ 3 - r 6 s e n 2 θ cos 2 ⁡ θ - r 6 cos 2 ⁡ θ 3   d r d θ

∫ 0 2 π 4 r 6 s e n 2 θ cos 2 ⁡ θ 6 + 4 3 r 4 cos 2 ⁡ θ 12 - r 7 s e n 2 θ cos 2 ⁡ θ 7 - r 7 cos 2 ⁡ θ 21 0 4 d θ

∫ 0 2 π 14 ( 4 ∙ 4 7 s e n 2 θ cos 2 ⁡ θ ) + 7 4 7 c o s θ - 12 4 7 s e n 2 θ cos 2 ⁡ θ - 4 4 7 cos 2 ⁡ θ 84 d θ

∫ 0 2 π 2 ∙ 4 7 s e n 2 θ cos 2 ⁡ θ + 3 ∙ 4 7 cos 2 ⁡ θ 84

4096 21 ∫ 0 2 π 2 s e n 2 θ cos 2 ⁡ θ + 3 cos 2 ⁡ θ   d θ

4096 21 1 4 θ - 1 16 s e n   4 θ + 3 2 s e n 2 θ 2 π 0

= 4096 21 π 2

= 2048 π 21

Esse é o momento de inércia😉

Resposta

2048 π 21

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