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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.9 - Ex. 21

Calcular a massa e o centro de massa do sólido delimitado por y = x 2 ,   y = 9 ,   z = 0   e   y + z = 9 , considerando a densidade de massa igual a x k g / m 3 .

Passo 1

Sabemos que a massa de um sólido é dada por:

M = ∭ D δ ( x , y , z )   d V

Sendo que δ ( x , y , z ) é a densidade. Vamos lá então...

Os intervalos de cada variável são:

x 2 ≤ y ≤ 9

- 3 ≤ x ≤ 3

0 ≤ z ≤ 9 - y

A gente vai montar a integral assim então:

∫ - 3 3 ∫ x 2 9 ∫ 0 9 - y x d z d y d x

Passo 2

Vamos começar a resolver...

∫ - 3 3 ∫ x 2 9 x 9 - y d y d x

∫ - 3 3 x 9 y - y 2 2 x 2 9 d x

∫ - 3 3 | x | 81 - 81 2 - 9 x 2 + x 4 2 d x

∫ - 3 3 x 81 2 - 9 x 2 + x 4 2 d x

Agora aqui como a gente tem um módulo, precisamos dividir essa integral em x em duas partes, uma positiva e outra negativa.

Passo 3

Vai ficar:

∫ - 3 0 - x 81 2 - 9 x 2 + x 4 2 d x + ∫ 0 3 x 81 2 - 9 x 2 + x 4 2 d x

- 81 x 2 4 + 9 x 4 4 - x 6 12 - 3 0 + 81 x 2 4 - 9 x 4 4 + x 6 12 0 3

=   + 81 - 3 2 4 - 9 - 3 4 4 + - 3 6 12 + 81 3 2 4 - 9 3 4 4 + 3 6 12

= 729 4 - 729 4 + 729 12 + 729 4 - 729 4 + 729 12

= 1458 12

M = 243 2

Essa é a massa! Agora falta encontrar o centro de massa...

Passo 4

Para encontrar o centro de massa, precisamos de:

C = M x M , M y M , M z M

Onde:

M x = ∭ D x δ x ,   y , z d V

M y = ∭ D y δ x , y , z d V

M z = ∭ D z δ x , y , z d V

Partindo daqui...

∫ - 3 3 x   x 81 2 - 9 x 2 + x 4 2 d x

A gente acha:

= 0

E aí resolvendo as outras, encontramos...

9 2   e 9 4

O centro de massa então é:

C = 0 , 9 2 , 9 4

Resposta

M = 243 2

C = 0 , 9 2 , 9 4

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