Calcular a massa de um fio delgado reto de de comprimento se a densidade em cada ponto é proporcional à distância desse ponto à extremidade mais próxima.
Passo 1
Vamos considerar o fio assim:
A gente pode parametrizar esse fio como:
E aí a derivada é e a norma é .
A densidade vai ser proporcional a distância de um ponto à extremidade, podemos considerar então que no intervalo de , a distância vai ser o valor do ponto (pois estará mais próximo do ponto inicial) , e de será o comprimento total menos o valor do ponto. Ou seja:
Passo 2
Vamos montar as integrais agora:
E...
Somamos as duas massas encontradas agora...