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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.2 - Ex. 37

Se um arame com densidade linear ρ x ,   y está sobre uma curva plana C , seus momentos de inércia em relação aos eixos x e y são definidos por

I x = ∫ C y 2   ρ x ,   y d s                     I y = ∫ C x 2   ρ x ,   y d s

Determine os momentos de inércia do arame do Exemplo 3 .

Passo 1

Galera, no Exemplo 3 tínhamos as seguintes informações:

ρ x ,   y = k 1 - y   ,       x = cos ⁡ t   ,       y = s e n   t   ,       d s = d t   ,       0 ≤ t ≤ π

Com isso, podemos calcular o momento de inércia I x :

I x = ∫ C y 2   ρ x ,   y = ∫ 0 π s e n   t 2   k 1 - s e n   t   d t = k ∫ 0 π s e n 2   t - s e n 3   t d t = 1 2 k ∫ 0 π 1 - cos ⁡ 2 t d t - k ∫ 0 π 1 - cos 2 ⁡ t   s e n   t   d t

Vamos usar a substituição u = cos ⁡ t   ,     d u = - s e n   t   d t na segunda integral, para obter:

I x = k π 2 + ∫ 1 - 1 1 - u 2 d u = k π 2 - 4 3

Passo 2

Show! Agora vamos calcular o momento de inércia I y :

I y = ∫ C x 2   ρ x ,   y = k ∫ 0 π cos ⁡ t 2   1 - s e n   t   d t = k 2 ∫ 0 π 1 + cos ⁡ 2 t d t - k ∫ 0 π cos 2 ⁡ t   s e n   t   d t

Vamos usar a mesma substituição u = cos ⁡ t   ,     d u = - s e n   t   d t na segunda integral, para obter:

I y = k π 2 - 2 3

Resposta

I x = k π 2 - 4 3

I y = k π 2 - 2 3

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