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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.2 - Ex. 38

Se um arame com densidade linear ρ x ,   y ,   z está sobre uma curva espacial C , seus momentos de inércia em relação aos eixos x , y e z são definidos por

I x = ∫ C ( y 2 + z 2 ) ρ x ,   y d s

I y = ∫ C ( x 2 + z 2 ) ρ x ,   y d s

I z = ∫ C ( x 2 + y 2 ) ρ x ,   y d s

Determine os momentos de inércia do arame do Exercício 35 .

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo bem?

A questão pede para acharmos os momentos de inércia I x , I y , e I z do arame do exercício 35.

Galera, do Exercício 35 tiramos as seguintes informações:

x = 2   s e n   t   ,       y = 2 cos ⁡ t ,       z = 3 t   ,       d s = 13   d t         0 ≤ t ≤ 2 π

A densidade desse arame �� constante, então:

ρ x ,   y = k

Então, vamos ter que calcular nossas integrais:

I x = ∫ C ( y 2 + z 2 ) ρ x ,   y d s

I y = ∫ C ( x 2 + z 2 ) ρ x ,   y d s

I z = ∫ C ( x 2 + y 2 ) ρ x ,   y d s

Como o exercício 35 já nos deu o valor de d s , de x , y ,   z , as derivadas dessas variáveis e a função densidade, falta só parametrizarmos o termo dentro do integrando.  

Então, temos todos os termos para montarmos cada uma das integrais de momento de inércia.

Bora resolver nossas integrais!

Passo 2

Com base nisso, podemos calcular os momentos de inércia:

I x = ∫ C ( y 2 + z 2 ) ρ x ,   y   d s

Substituindo nossos termos e reescrevendo:

( y 2 + z 2 ) = 2 cos ⁡ t 2 + 3 t 2

Temos:

= ∫ 0 2 π 13   k   4 cos 2 ⁡ t + 9 t 2 d t

Integramos enfim:

= 13   k 4 1 2 t + 1 4 s e n 2 t + 3 t 3 0 2 π

Aplicando os limites de integração:

= 13   k 4 π + 24 π 3

Ficamos com:

I x = 4 13 π k 1 + 6 π 2

Passo 3

Continuando agora calculando a inércia para o eixo y :

I y = ∫ C ( x 2 + z 2 ) ρ x ,   y d s

Substituindo nossos termos e reescrevendo:

x 2 + z 2 = 4   s e n 2   t + 9 t 2

Temos:

= ∫ 0 2 π 13   k   4   s e n 2   t + 9 t 2 d t

Integramos enfim:

= 13   k 4 1 2 t - 1 4 s e n 2 t + 3 t 3 0 2 π

Aplicando os limites de integração:

= 13   k 4 π + 24 π 3  

Ficamos com:

I y = 4 13 π k 1 + 6 π 2

Passo 4

Finalizando nossa questão com o cálculo do momento de inércia em z :  

I z = ∫ C ( x 2 + y 2 ) ρ x ,   y d s

Substituindo nossos termos e reescrevendo:

( x 2 + y 2 ) = 2 s e n   t 2 + 2 cos ⁡ t 2  

Como temos a identidade trigonométrica:

2 s e n   t 2 + 2 cos ⁡ t 2 = 1

Temos:

= ∫ 0 2 π 4 13   k   d t

Integramos enfim:

= 4 13   k t 0 2 π

Ficamos com:

I z = 8 13 π k

Resposta

I x = 4 13 π k ( 1 + 6 π 2 )

I y = 4 13 π k ( 1 + 6 π 2 )

I z = 8 13 π k

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