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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.8 - Ex. 12

Calcular ∬_R^() sqrt((x - 1)^2 + (y - 2)^2) d x d y , onde R é delimitada por (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1 .

Passo 1

A representação gráfica se dá:

Passo 2

Para facilitar a resolução da questão, utilizaremos a seguinte transformação:

( x - 1 ) = u e ( y - 2 ) = v

O jacobiano dessa transformação será igual a 1:

J = |[[1,0],[0,1]]| = 1

A nova figura se dará como um círculo de raio 1 centrado na origem, já que:

(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1 -> u^2 + v^2 = 1

Então, substituindo na equação dada, temos:

∬ sqrt(u^2 + v^2) * 1 d u d v = ∬ sqrt(u^2 + v^2) d u d v

Nesse caso, as coordenadas polares se dão:

u = r cos theta ; v = r s e n theta ; u^2 + v^2 = r^2

Substituindo novamente. Obtemos:

∬ r * r d r d theta

Com

0 <= r <= 1

0 <= theta <= 2 pi

Passo 3

Integrando para r :

int_0^1 r^2 d r = (r^3)/(3)

Aplicando os limites:

(1 - 0) (1)/(3) = (1)/(3)

Passo 4

Integrando para theta :

int_0^(2 pi) (1)/(3) d theta = (1)/(3) theta

Aplicando os limites:

(2 pi - 0) (1)/(3) = (2 pi)/(3)

Resposta

(2 pi)/(3)

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