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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.4 - Ex. 20

Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:

20. ∫ C x 2 d x + y 2 d y + z 2 d z , onde C é o arco de hélice circular dado por r → t = 4 cos ⁡ t , 4 sin ⁡ t ,   8 t ) , t ∈ [ 0,2 π ] .

Passo 1

Bom! O que nós queremos é calcular a seguinte integral de linha:

∫ C f → x , y , z d r →

E para resolver integrais de linha, como nos é pedido aqui nesse problema, sempre é necessário seguir três passinhos. O primeiro passo é achar a curva parametrizada, que para nossa imensa alegria e felicidade, o próprio problema já nos fornece.

Bom! A curva tem a seguinte cara:

r → t = ( 4 cos ⁡ t ,   4 sen ⁡ t ,   8 t )

E dela tiramos que:

x = 4 cos ⁡ t

y = 4 sen ⁡ t

z = 8 t

Passo 2

O próximo passo agora, é justamente mudar a função que nos é fornecida para os termos dessa parametrização.

Olha só! A nossa função é dada por:

f → x , y , z = ( x 2 , y 2 , z 2 )

E para fazer a troca na função para os termos parametrizados, basta realizar a substituição no x , y e z com os valores que temos lá do P a s s o   1 :

f → x , y , z = ( 16 cos 2 ⁡ t , 16 sen 2 ⁡ t , 64 t 2 )

Pronto! Já temos uma função inteira em termos de t .

Passo 3

O passo número três consiste em encontrar o termo d r → fazendo:

d r → = r ' t d t

Ou seja, o que temos que fazer é apenas tirar a primeira derivada de r → t . Vamos lá:

r ' t = ( - 4 sen ⁡ t ,   4 cos ⁡ t ,   8 )

Passo 4

Pronto! Só nos resta pegar os três ingredientes que já encontramos e substituir na integral:

∫ C f → x , y d r → = ∫ t 1 t 2 f → x , y d r →

Pera! Mas o que são esses limites de integração?

Presta atenção! A questão nos diz que t ∈ [ 0,2 π ] .

Que beleza! Encontramos os nosso dois pontos de interesse! Nossa integração, então, vai de 0 até 2 π :

∫ 0 2 π f → x , y d r → =

= ∫ 0 2 π ( 16 cos 2 ⁡ t , 16 sen 2 ⁡ t , 64 t 2 ) ( - 4 sen ⁡ t ,   4 cos ⁡ t ,   8 ) d t =

= ∫ 0 2 π - 64   c o s 2   t ⋅ s e n   t +   64   s e n 2 t ⋅ cos ⁡ t + 512 t 2 d t =

= ∫ 0 2 π ( 64   s e n   t ⋅ cos ⁡ t ( s e n   t - cos ⁡ t ) + 512 t 2 ) d t =

Só que 2   s e n   t ⋅ cos ⁡ t = sen ⁡ 2 t :

= ∫ 0 2 π ( 32 sen ⁡ 2 t ( s e n   t - cos ⁡ t ) + 512 t 2 ) d t =

= ∫ 0 2 π ( 32 sen ⁡ 2 t s e n   t - 32 sen ⁡ 2 t cos ⁡ t ) + 512 t 2 ) d t =

Agora, vamos relembrar as seguintes identidades trigonométricas:

cos ⁡ a ⋅ sen ⁡ b = s e n   a + b + s e n   ( a - b ) 2

sen ⁡ a ⋅ sen ⁡ b = c o s   a - b - c o s   ( a + b ) 2

Sendo assim, nossa integral pode ser reescrita como:

∫ 0 2 π ( 32 sen ⁡ 2 t s e n   t - 32 sen ⁡ 2 t cos ⁡ t ) + 512 t 2 ) d t =

= ∫ 0 2 π 32 ⋅ cos ⁡ t - cos ⁡ 3 t 2 - 32 ⋅ sen ⁡ 3 t + sen ⁡ t 2 + 512 t 2 d t =

= ∫ 0 2 π 16 cos ⁡ t - 16  cos ⁡ 3 t - 16  sen ⁡ 3 t + 16  sen ⁡ t + 512 t 2 d t =

= 16 sen ⁡ t - 16 3  sen ⁡ 3 t + 16 3  cos ⁡ 3 t - 16  cos ⁡ t + 512 3 t 3 0 2 π =

= 0 + 0 + 16 3  cos ⁡ 2 π - 16  cos ⁡ 2 π + 512 3 2 π 3 - 16 3  cos ⁡ 0 + 16  cos  0 ⁡ =

= 4096 π 3 3

Resposta

= 4096 π 3 3

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