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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.8 - Ex. 11

Calcular ∬_R^() x y d x d y , onde R é delimitada por (x^2)/(4) + (y^2)/(9) = 1 .

Passo 1

A representação gráfica se dá:

Passo 2

Para facilitar a resolução da questão, utilizaremos a seguinte transformação:

x = 2 u e y = 3 v

O jacobiano dessa transformação será igual a 6:

J = |[[2,0],[0,3]]| = 6

A nova figura se dará como um círculo de raio 1 centrado na origem, já que:

(x^2)/(4) + (y^2)/(9) = 1 -> ((2 u)^2)/(4) + ((3 v)^2)/(9) = 1 -> u^2 + v^2 = 1

Então, substituindo na equação dada, temos:

∬ 2 u * 3 v * 6 d u d v = 36 ∬ u v d u d v

Nesse caso, as coordenadas polares se dão:

u = r cos theta ; v = r s e n theta ; u^2 + v^2 = r^2

Substituindo novamente. Obtemos:

36 ∬ r cos theta * r s e n theta * r d r d theta

Com

0 <= r <= 1

0 <= theta <= 2 pi

Passo 3

Integrando para r :

36 int_0^1 r^3 cos theta * s e n theta d r = 9 r^4 cos theta * s e n theta

Aplicando os limites:

(1 - 0) 9 cos theta * s e n theta = 9 cos theta * s e n theta

Passo 4

Integrando para theta :

int_0^(2 pi) 9 cos theta * s e n theta d theta = (9)/(2) s e n^2 theta

Aplicando os limites:

(s e n^2 2 pi - s e n^2 0) (9)/(2) = 0

Resposta

0

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