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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.8 - Ex. 23

Calcular ∬ R ( x + y ) d x d y , onde R é a região do primeiro quadrante delimitada por x y = 1 , x y = 2 , y = x e y = 4 + x .

Passo 1

A representação gráfica se dá:

Passo 2

Para facilitar a resolução da questão, utilizaremos a seguinte transformação:

x y = u e y - x = v

O jacobiano dessa transformação será igual a:

J = y x - 1 1 = y + x

∂ ( u ,   v ) ∂ ( x ,   y ) = x + y

∂ ( x ,   y ) ∂ ( u ,   v ) = 1 x + y

A nova figura se dará como um retângulo dado por:

u = 1 , u = 2 , v = 0 e v = 4

Então, substituindo na equação dada, temos:

∬ ( x + y ) ⋅ 1 x + y d x d y = ∬ d x d y = ∬ d u d v

Substituindo novamente. Obtemos:

∫ 0 4 ∫ 1 2 d u d v

Passo 3

Integrando para u :

∫ 1 2 d u = u

Aplicando os limites:

2 - 1 = 1  

Passo 4

Integrando para v :

∫ 0 4 d v = v

Aplicando os limites:

4 - 0 = 4  

Resposta

4

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Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Abaixo do cone z = x 2 + y 2 e acima do anel 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 .
Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Uma esfera d raio a .
Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Limitado pelo paraboloide z = 1 + 2 x 2 + 2 y 2 e o plano z = 7 no primeiro octante.
Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Dentro tanto do cilindro x 2 + y 2 = 4 e do elipsoide 4 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 64 .
Uma região R é mostrada. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares, e escreva ∬ R f x , y d A como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R .