Calcular ∬ R ( x + y ) d x d y , onde R é a região do primeiro quadrante delimitada por x y = 1 , x y = 2 , y = x e y = 4 + x .

Passo 1

A representação gráfica se dá:

Passo 2

Para facilitar a resolução da questão, utilizaremos a seguinte transformação:

x y = u e y - x = v

O jacobiano dessa transformação será igual a:

J = y x - 1 1 = y + x

∂ ( u ,   v ) ∂ ( x ,   y ) = x + y

∂ ( x ,   y ) ∂ ( u ,   v ) = 1 x + y

A nova figura se dará como um retângulo dado por:

u = 1 , u = 2 , v = 0 e v = 4

Então, substituindo na equação dada, temos:

∬ ( x + y ) ⋅ 1 x + y d x d y = ∬ d x d y = ∬ d u d v

Substituindo novamente. Obtemos:

∫ 0 4 ∫ 1 2 d u d v

Passo 3

Integrando para u :

∫ 1 2 d u = u

Aplicando os limites:

2 - 1 = 1  

Passo 4

Integrando para v :

∫ 0 4 d v = v

Aplicando os limites:

4 - 0 = 4  

Resposta

4

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