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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 66c

Encontrar o vetor intensidade elétrica E → = - g r a d   V a partir da função potencial V , no ponto indicado.

V = x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 ; P 1 ,   2 ,   - 2

Passo 1

Pra resolver essa, vamos só fazer o que ele falou: calculamos o gradiente, invertemos o sinal, substituímos o ponto e fechou! Para a função V :

V = x 2 + y 2 + z 2 - 1 2

g r a d   V = ∇ V = ∂ V ∂ x , ∂ V ∂ y , ∂ V ∂ z

Calculando as derivadas parciais, sem esquecer da regra da cadeia:

∂ V ∂ x = - x x 2 + y 2 + z 2 3 2

∂ V ∂ y = - y x 2 + y 2 + z 2 3 2

∂ V ∂ z = - z x 2 + y 2 + z 2 3 2

Então o gradiente é:

g r a d   V = - x x 2 + y 2 + z 2 3 2 , - y x 2 + y 2 + z 2 3 2 , - z x 2 + y 2 + z 2 3 2

E o vetor intensidade elétrica:

E → = - g r a d   V = x x 2 + y 2 + z 2 3 2 , y x 2 + y 2 + z 2 3 2 , z x 2 + y 2 + z 2 3 2

Passo 2

Substituindo o ponto P :

E → P = 1 1 2 + 2 2 + - 2 2 3 2 , 2 1 2 + 2 2 + - 2 2 3 2 , - 2 1 2 + 2 2 + - 2 2 3 2

E → ( 1 ,   2 ,   - 2 ) = 1 9 3 2 ,   2 9 3 2 , - 2 9 3 2

Assim,

E → ( 1 ,   2 ,   - 2 ) = 1 27 , 2 27 ,   - 2 27

Resposta

E → ( 1 ,   2 ,   - 2 ) = 1 27 , 2 27 ,   - 2 27

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