Calcular ∫ 0 4 ∫ 0 1 4 144 - 9 y 2 ( 144 - 16 x 2 - 9 y 2 ) d x d y .

Passo 1

A representação gráfica se dá:

Passo 2

Para facilitar a resolução da questão, utilizaremos a seguinte transformação:

x = 3 u e y = 4 v

O jacobiano dessa transformação será igual a 6:

J = 3 0 0 4 = 12

A nova figura se dará como um círculo de raio 1 centrado na origem.

Então, substituindo na equação dada, temos:

∬ ( 144 - 16 ⋅ 9 u 2 - 9 ⋅ 16 v 2 ) ⋅ 12 d u d v = 1728 ∬ ( 1 - u 2 - v 2 ) d u d v

Nesse caso, as coordenadas polares se dão:

u = r cos ⁡ θ ; v = r   s e n   θ ; u 2 + v 2 = r 2

Substituindo novamente. Obtemos:

1728 ∬ ( 1 - r 2 ) ⋅ r   d r d θ = 1728 ∬ ( r - r 3 ) ⋅ r   d r d θ

Com

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 3

Integrando para r :

1728 ∫ 0 1 ( r - r 3 ) d r = 1728 r 2 2 - r 4 4

Aplicando os limites:

1728 1 - 0 1 2 - 1 - 0 1 4 = 432  

Passo 4

Integrando para θ :

∫ 0 π 2 432 d θ = 432 θ

Aplicando os limites:

π 2 - 0 ⋅ 432 = 216 π  

Resposta

216 π

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