5. Calcular ∫ C f → ⋅ d r →   , onde f → = y x 2 + y 2 , - x x 2 + y 2 , ao longo dos seguintes caminhos:

b) poligonal ABCD, com A(1,0), B(1,1), C(2,1) e D(2,2), de A até D;

Passo 1

Vamos começar calculando as derivadas parciais de primeira ordem para saber se é conservativo.

Sendo

f 1 = y x 2 + y 2

f 2 = - x x 2 + y 2

As derivadas

∂ f 1 ∂ y = x 2 - y 2 x 2 + y 2 2

∂ f 2 ∂ x = x 2 - y 2 x 2 + y 2 2

Como ∂ f 1 ∂ y = ∂ f 2 ∂ x = x 2 - y 2 x 2 + y 2 2 , então é conservativo.

Passo 2

Agora vamos determinar a função potencial u(x,y).

Temos

∂ u ∂ x = y x 2 + y 2                 1

∂ u ∂ y = - x x 2 + y 2                 2

Integrando a equação (1) em relação a x, ficamos com

u = ∫ y x 2 + y 2   d x

u = a r c   t g x y + a y

Obs: aqui a y é a constante de integração (ela é constante em relaçao a x)

Agora derivamos esse resultado em relação a y

∂ u ∂ y = - x x 2 + y 2 + ∂ a ∂ y

Se compararmos agora com a equação (2), percebemos que

∂ a ∂ y = 0

Então a é constante e vamos chamar a = C.

Onde C é a constante de integração final.

Substituindo na expressão de u

u = a r c   t g x y + C

Por final, temos

∫ C f → ⋅ d r →   = u 2,2 - u 1,0

= ( a r c   t g 2 2 + C ) - ( a r c   t g 1 0 + C )

= π 4 + C - π 2 - C

= - π 4

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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