Enunciado

5. Calcular ∫ C f → ⋅ d r →   , onde f → = y x 2 + y 2 , - x x 2 + y 2 , ao longo dos seguintes caminhos:

c) quadrado de vértices A(1,0), B(2,0), C(1,-1) e D(2,-1) no sentido anti-horário;

Passo 1

Vamos começar calculando as derivadas parciais de primeira ordem para saber se é conservativo.

Sendo

f 1 = y x 2 + y 2

f 2 = - x x 2 + y 2

As derivadas

∂ f 1 ∂ y = x 2 - y 2 x 2 + y 2 2

∂ f 2 ∂ x = x 2 - y 2 x 2 + y 2 2

Como ∂ f 1 ∂ y = ∂ f 2 ∂ x = x 2 - y 2 x 2 + y 2 2 , então é conservativo.

Passo 2

Como C está contida em um domínio simplesmente conexo que não contém a origem, (todos os valores de x são positivos, então não vai passar pelo ponto (0,0)) podemos usar o Teorema 9.5.5

∫ C f → ⋅ d r →   = 0

Resposta

∫ C f → ⋅ d r →   = 0

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Faça a correspondência entre o campo vetorial F → em R 3 e a figura rotulada de I - I V . Justifique suas escolhas. F → x , y , z = i → + 2 j → + z k →
Esboce o campo vetorial F desenhando um diagrama como o da Figura 5 ou da Figura 9. F x , y = 1 2 i ^ - ( y - x ) j ^
Faça a correspondência entre o campo vetorial F → e a figura rotulada de I – I V . Justifique suas escolhas. F x , y =y , y + 2