Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.4 - Ex. 25
Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:
25. , onde é dada por , .
Passo 1
Bom! Vamos lá pra mais um probleminha de integral de linha! Nós queremos trabalhar com a seguinte integral:
E o nosso campo vetorial pela integral que vemos no enunciado:
Tiramos que é dado por:
Encerrada essa pequena introduçãozinha; vamos pro que realmente interessa.
Olha só! Já sabemos que a primeira coisa que temos que fazer é parametrizar a curva, que no nosso caso, é uma parábola de uma equação do segundo grau.
Passo 2
A forma de parametrizar essa curva é bastante simples, pois a nossa função é explícita. Basta apenas, chamar de e obtemos a seguinte parametrização:
Passo 3
O próximo passo agora, é justamente mudar a função que nos é fornecida para os termos dessa parametrização que obtivemos.
Onde temos que:
E fazendo a troca com os valores que obtemos na nossa parametrização, chegamos que:
Passo 4
Seguindo nosso raciocínio... O passo número quatro consiste em encontrar o termo fazendo:
Ou seja, o que temos que fazer é apenas tirar a primeira derivada de . Vamos lá:
Passo 5
Pronto! Só nos resta pegar os três ingredientes que já encontramos e substituir na integral:
Pera! Mas quais são os limites de integração?
Ora bolas! Já que chamamos de , então nosso limite de integração vai de até , conforme menciona o enunciado.
Agora presta atenção! Para resolver isso aí vamos usar a integração por substituição. Chamemos de :
Depois derivemos :
Pronto! Nossa integral pode ser modificada para a seguinte forma: