Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.4 - Ex. 26a
26. Calcular a integral , onde é:
a) o segmento de reta de a :
Passo 1
Bom! Vamos lá pra mais um probleminha de integral de linha! Nós queremos trabalhar com a seguinte integral:
E o nosso campo vetorial , pela integral que vemos no enunciado:
Tiramos que é dado por:
Encerrada essa pequena introduçãozinha; vamos pro que realmente interessa.
Olha só! Já sabemos que a primeira coisa que temos que fazer é parametrizar a curva, que no nosso caso, é um segmento de reta.
Passo 2
E para parametrizar o nosso segmento de reta, peguemos os pontos e )...
Nós já sabemos que um segmento de reta pode ser parametrizado da seguinte forma:
Onde , é o par ordenado formado por dois pontos quaisquer da reta, no caso peguemos o par inicial .
E para obter o valor façamos que..
Nossa curva é dada então por:
Nesse caso, :
Quer ver só!? Para :
Para :
Passo 3
O próximo passo agora, é justamente mudar a função que nos é fornecida para os termos dessa parametrização que obtivemos.
Onde temos que:
Assim, bora tratar de fazer a troca:
Passo 4
Seguindo nosso raciocínio... O passo número quatro consiste em encontrar o termo fazendo:
Ou seja, o que temos que fazer é apenas tirar a primeira derivada de . Vamos lá:
Passo 5
Pronto! Só nos resta pegar os três ingredientes que já encontramos e substituir na integral:
Pera! Mas quais são os limites de integração?
Ora bolas! Do , obtemos que . Então, nosso limite de integração vai de até :
Aplicando integração por partes na primeira integral, obtemos que:
E resolvendo a segunda integral, chegamos à nossa resposta: