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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 22

int_0^(2 pi) int_0^((pi)/(4)) int_0^(2 pi) ( rho cos (varphi) rho^2 s e n (varphi) d rho d varphi d theta

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Das técnicas a vir ser utilizados, serão somente comentadas, caso você amigo[a] se interesse, está convidado[a] a buscar a demonstração

Passo 2

int_0^(2 pi) int_0^((pi)/(4)) ((cos (varphi) s e n (varphi))/(4) [rho^4]_0^2) d varphi d theta

int_0^(2 pi) int_0^((pi)/(4)) 4 cos (varphi) s e n (varphi) d varphi d theta

Passo 3

Chamemos u = s e n (varphi) logo d u = cos (varphi) d varphi , e quando varphi = 0 , u = 0 e para u = (pi)/(2) , u = (1)/(sqrt(2)) . Assim:

int_0^(2 pi) 4 int_0^((1)/(sqrt(2))) u d u d theta

int_0^(2 pi) ((4)/(2) [u]_0^((1)/(sqrt(2)))) d theta

int_0^(2 pi) d theta

([theta]_0^(2 pi))

2 pi

Resposta

2 pi

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