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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 21

int_0^(pi) int_0^(pi) int_0^(2 s e n ( varphi )) rho^2 s e n (varphi) d rho d varphi d theta

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Das técnicas a vir ser utilizados, serão somente comentadas, caso você amigo[a] se interesse, está convidado[a] a buscar a demonstração

Passo 2

int_0^(pi) int_0^(pi) ((s e n (varphi))/(3) [rho^3]_0^(2 s e n (varphi) )) d varphi d theta

int_0^(pi) int_0^(pi) (2^3)/(3) s e n^4 (varphi) d varphi d theta

Das técnicas das integrais temos que

int s e n^n (a x) d x = (- s e n^(n - 1) (a x) cos (a x))/(n a) + (n - 1)/(n) int s e n^(n - 2) (a x) d x

Logo:

int_0^(pi) (2^3)/(3) [(- s e n^3 (varphi) cos (varphi))/(4) + (3)/(4) int s e n^2 (varphi) d varphi]_0^(pi) d theta

Passo 3

Sabemos que s e n^2 (x) = (1)/(2) (1 + s e n (2 x))

int_0^(pi) (2^3)/(3) ([- (s e n^3 (varphi) cos (varphi))/(4)]_0^(2 pi) + (3)/(4) ((1)/(2) int_0^(pi) d varphi + int_0^(pi) s e n (2 varphi) d varphi)) d theta

Sabemos int s e n (a x) = (1)/(a) - cos (a x) + C

int_0^(pi) (2^3)/(3) (0 + (3 pi)/(2^3) + (3)/(4) ((1)/(2) [- cos (2 varphi)]_0^(pi))) d theta

int_0^(pi) pi d theta

(pi [theta]_0^(pi))

pi^2

Resposta

pi^2

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Esboce o sólido descrito pelas inequações:
Escreva a equação em coordenadas esféricas.
Escreva a equação em coordenadas esféricas.
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule o valor da integral.
Use coordenadas esféricas.